Lab 1: Basic Digital Signal Processing

The functions that we will consider represent digital signals. Thus the natural model to present them are sequences of real numbers.

In practice we only have a inite sequence of terms x1 , . . . , xk  but to analyze it we may consider it ininite by padding it with ininite zeros before and after it. Sometimes, it is also convenient to consider complex valued sequences although they may have not a physical interpretation.

We are interested in transforming this signal, to eliminate noise from it for instance. The type of transformations that we are going to

consider are linear operators y = T (x), , i.e

T (λx + μz) = λT (x) + μT (z).

This operators are usually denoted in the engineering literature as Lin- ear Systems.

Another important property that allows us to use Fourier Analysis techniques is that we will only consider time invariant linear systems (LTI for short).

Definition  1. A system T is invariant if it commutes with the translations, i.e. T 。τm  = τm 。T, where τm  is a delay of the sequence: τm (x[n]) = x[n 一 m].

That is, in a LTI “if we delay the input, we delay the output” .  If Tx = y then T (τm (x)) = τm (y).

In the following, we will use ininite series but we will not worry about convergence because most of our signals will be compactly sup- ported or very rapidly decaying.

Definition 2. A basic example of discrete signal if the impulse signal δ, this signal is deined as

This is a basic piece because we can express any sequence as a linear combination of delays of the delta function, that is x =：k x[k]τk δ .  If we have a linear system, we give a special name as how it responds to the delta function.

Observe that the role of the Fourier coefficients and the function is reversed with the Fourier series that you know.

A signal x[n] is characterized by its Fourier transform X .  As the physical signals that we will consider are real valued signals, observe that X(-ω) = (X(ω)).

If a signal x has Fourier transform X with support in (-δ, δ)

[-π, π] near the origin we say that x is a low frequency signal.  If the support intersects the complement suppX \ ([-π, π] / (-δ, δ)), we say that x has high frequency content.

Let us see that the complex valued signals x[n] = eiωn , for some ixed ω  2  [-π, π]  are  the eigensequences of any LTI system T  with response function h.

We know that y = T (x) = x?h. That is

If we denote by H(ω) the Fourier transform of the impulse response

function h[n], i.e., H(ω) =Σk2Z h[k]e-iωk , we obtain

y[n] = T (x[n]) = H(ω)x[n].

That  means  that  x[n]  is  an  eigenfunction  of  the  TLI  system  with eigenvalue H(w). Therefore all TLI system “diagonalize” through the Fourier transform.  If we know how the system acts against the expo- nentials, we know the eigenvalues H(ω) and therefore we know h[n] which describes the system.

This can also be seen by the convolution theorem.

Theorem 1. If we have signals y, x,h such that

y = x? h

and Y (ω), X(ω), H(ω) are its corresponding Fourier transforms, then

Y (ω) = H(ω)X(ω)

Proof. We compute the Fourier transform of y:

. Compute the total height climbed and descended, that is com-pute

and

where x[n] is a vector that contains the heights that you should have read previously.

. Apply a low pass flter, i.e.  remove part of the  noise produced by errors in the GPS measurement. For this you can try tofnd the  coefficients h[n]  of a  low pass flter such that its Fourier transform mimics a characteristic function.  Alternatively you can use a flter as in the previous exercise.

. Recompute Climbing and Descending once we have applied a low pass flter.

. Explain the diference.