MATH 451 Winter 2024 Practice Final

Problem 1:

Let (sn ) be a sequence of real numbers.

1.  Give the definition of limsupsn.

2.  Let X be the set of real numbers defined as follows:  x ∈ X if and only if there is N such that x > sn  for n > N.  In other words, X consists of the upper bounds of the tails of (sn ). Prove that limsupsn  = infX .

Problem 2:

Compute the domain of convergence of the power series , i.e.  the set of all x ∈ R for which the power series converges.

Problem 3:

Let S,T be non-empty subsets of R with the property that s < t for all s ∈ S and all t ∈ T. Prove that supS and infT exist and satisfy the relationsupS ≤ infT. It it also true that supS < infT? Give a proof or a counterexample.

Problem 4:

1.  Given an open interval I ⊂ R and a smooth function f  : I → R, define the Taylor series of f at c ∈ (a,b).

2.  Compute the Taylor series of sin(x) at 0 and show that it represents sin(x) on the entire domain R.

Problem 5:

Let f  :  [a,b]  →  R be  a function.   Assume that there exists a sequence  (hn ) of step functions hn   :  [a,b] → R converging uniformly to f.  Show that f is integrable, without appealing to the theorem about uniform convergence and integrability proved in class.