Math 447: Real Variables Homework 5

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Homework 5

Math 447:  Real Variables

Exercise 1 Prove that any inite intersection of open sets is open: if (X; d) is any metric space and  are open sets in X then  is open in X .

Exercise 2 Let (X; d) be a metric space and (xn) a sequence in (X; d). Prove that Lim(xn)c is an open set in X .

Exercise 3 Let p ∈ N be any prime number.  For each nonzero rational number r there is a unique  k such that  such that a, b ∈ Z and p divides neither a nor b.

For example, if p = 3 we may write 12 = 31 · 4,   20 = 30 · 20,   and   7/18 = 3-2 · 7/2.

Deine

In our example, |12|3  = 3- 1  |20|3  = 30  = 1  and  |7/18|3  = 32.  Similarly, |12|5  = 1 = |7/18|5  and |20|5  = 5-1. Prove that the function dp (m, n) = |m — n|p  makes (Q, dp) into a metric space.

Exercise 4 For the metric dp  deined in Exercise 3, describe each of the sets below using set notation and list three elements of each set. Your inal description should not  use the metric directly (so answers similar to {x : |x|p ≤ 1} are not valid).

(a)  The open ball B1 (0).

(b)  The closed ball B1 (0).

(c)  The open ball Bδ (0) with δ = p-k.