MTH2140/MTH3140 Real Analysis – Assignment 1 (2023)

1. We consider two non-empty sets A and B, with A ⊂ R+  bounded above and B ⊂ (1.5, +∞) bounded below, and we define C = {z ∈ R  : there exists x ∈ A and y ∈ B such that z =  } .

C is therefore the set of all real numbers created as the division between any number in A and any number in B . Prove that sup(C) exists and that sup(C) =  .

2. Consider the following statement:  “if A,B  are  two  non- empty sets,  each  one  having  a  minimum,  then A ∪ B  has  a  minimum”. Determine if this statement is true or false. If it is true, give a proof. If it is false, provide a counter-example.

(Note:  the solution is not very long and does not require the usage of complicated calculations; it can therefore be typed using plain text,  with minimal mathematical notations,  as per the instructions provided in the  lecture notes .   You do not have to present your solution this way,  but it can help you train for the  ”short response”  questions in the final exam.)

3. Let u1  > ^5 and define u2 ,u3 ,u4 , ··· by the formula

un+1  =  (un + ).

(a) Prove that (un )n∈N  is a strictly decreasing sequence.

(b) Prove that (un )n∈N  converges and the limit is ^5. Make sure you clearly state any theorem you invoke to establish this proof.