STAT3004/STAT4018/STAT6018 Questions

Without giving reasons, choose the answer which best completes each statement below. Each correct answer will gain two marks, there is no penalty for incorrect answers.

(a) The significance of σ -algebras is best explained in the context of

(1) the carrier of information;

(2) discrete random variables;

(3) the domain of probability measures and the carrier of information;

(4) Laplace experiments.

(b) A function f : R - R is a Borel function

(1) always;

(2) provided f is an indicator function;

(3) provided f is nowhere continuous;

(4) provided f is monotone.

(c) A set system is a generator of the Borel σ -algebra on the real line provided

(1) it is closed under taking finite intersections;

(2) it is closed under taking uncountable unions;

(3) it contains all the singletons;

(4) it contains all the intervals.

(d) If E[X] = 6 and E[X2] = 40, then Chebychev’s inequality states

(1) P(|X _ 6| > 4) < 0.125;

(2) P(|X _ 6| > 4) < 0.1111;

(3) P(|X _ 6| > 4) < 0.5;

(4) P(|X _ 6| > 4) < 0.25.

(e) Assume r is a σ -algebra, defined on a non-empty set Ω while µ : r - [0, o],

F -l µ(F), is a given function.

(1) If µ(Ω) = 2, then µ is a finite measure;

(2) If µ is countably additive, then µ must be a probability measure;

(3) The Lebesgue measure µ is a σ -finite measure when defined on r = B(R);

(4) The counting measure µ is a probability measure.

Without giving reasons, choose the answer which best completes each statement below. Each correct answer will gain two marks, there is no penalty for incorrect answers.

(a) If X is a real-valued random variable with finite E[|X|], then

(1) E[X3] is well-defined provided X is standard Cauchy;

(2) E[X] is well-defined and finite;

(3) E[X] could be infinite, while still well-defined;

(4) E[X3] is well-defined provided X is symmetric.

(b) If t -l ψX (t) is the characteristic function of X ,

(1) ψ may not be continuous at the origin;

(2) _iψ\ (0) is the expected value, provided the first moment exists;

(3) _ψ \ (0) is the expected value, provided the first moment exists;

(4) t -l e_i2t  is the characteristic function of the standard normal distribution.

(c) If λ is Lebesgue measure and (Un )n  is a sequences of independent random vari- ables, uniformly distributed in the unit interval [0, 1], the law of

(1) 2_nI[0,1/2)(Un ) is not absolutely continuous with respect to λ;

(2)     n(4)=1 2_nI[0,1/2)(Un ) is absolutely continuous with respect to λ;

(3) 2 . 3_nI[1/2,1] (Un ) is not absolutely continuous with respect to λ;

(4) 2_nI[0,1/3)(U15 ) is not a discrete random variable.

(d) Assume X, X1 , X2 . . .  is a sequence of real-valued random variables, defined on

a common probability space  (Ω , r, P), where, for n e N , Xn  := k(n)=1 Xk   is

the associated sample mean.

(1) if Xn  - X in probability as n - o , then Xn  - X almost surely as n - o ;

(2) if E[Xn]=2 and Var(Xn )=3 for all n e N, then Xn  - 2 as n - o ;

(3) if E[X2] + E[Xk(2)] < o , then Xn - 0 almost surely;

(4) if E[X2]+    k(n)=1 E[(Xk _ X)2] < o for n e N, then limn→o E[(Xn _ X)2]=0 .

(e) Assume X, Y are a random variables, defined on some probability space (Ω , r, P),

so that E[|X|] + E[|Y |] < o . Assume s , g C r are σ -algebras.

(1) if s C g and s g , then E[X|s] < E[X|g], P-a.s.;

(2) if s C g and σ(Y) = g , then E[XY |s] = XE[Y |s], P-a.s.;

(3) always, E[Y |g] = E[Y |σ(s u g)], P-a.s.;

(4) if s C g and σ(Y) = g , then E[XY |g] = YE[X|g], P-a.s..

Here P-a.s. indicates that, with probability one, an identity or (strict) inequality holds for the associated versions.