MATHS 2101/7101 Multivariable and Complex Calculus (Semester 1, 2023) Assignment 3

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Multivariable and Complex Calculus (MCC)

MATHS 2101/7101 (Semester 1, 2023)

Assignment 3

1. A certain curvilinear system has coordinates (u,v,) which are related to rectangular coordinates by

(x,y,z) = (uv cos ,uv sin , 12 (u2 — v2 )) ,

with the restrictions u  0, v  0 and 0 ≤  < 2 .                                                                                            2

(a)  Find the unit vectors and scale factors of this curvilinear coordinate system.  Is (u,v,) an orthogonal coordinate system?

(b)  What  is  the  expression  for  ∇ · f ,  for  a  general  vector  ield  f  =  fu(u,v,)eu  + fv(u,v,)ev  + f(u,v,)e ?  Determine the divergence of the particular function f (u,v,) =  (eu + ev) + uve  .

2.  Draw a clear diagram displaying the region of integration for

I = \0 1  xy dy dx,

and thereby determine the form of I with the order of integration reversed .  Conirm that both orders of

integration give the same result .                                                                                                                           3 

3. The vertices of a tetrahedron T in R3  are at (0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0) and the origin .  Carefully sketch T ,

\\\

4. The general position along a wire can be expressed as

r() = acos i + asin j +     k    ,     ∈ [0, 2) .

parametrically.   This wire comprises  one  loop of a  helix or  radius a,  and extends  a  height  h above the

xy-plane.                                                                                                                                                                    3

(a)  What is the length of the wire, in terms of the positive parameters a and h?  Interpret your expression for h = 0.

(b)  Prove that the average value of the z-coordinate along the arclength of the wire is h/2.