ENVE/GEOE 223 Assignment 3

Question-mark breakdown table:

Due: Mar 21, 10 pm EST, Crowdmark

1.    Consider the ODE y + y = t with y(0) = 1 .

(a)  Solve the ODE numerically by hand using Euler’s method with t = 1 to approximate y at

t = 1, 2,3, 4,5 .  Show the calculations for all steps of the Euler solution.

(b)  Solve the ODE analytically by hand.

(c)   Plot the numerical and analytical solutions on the same axes for 0  t  5 .  Use symbols for the numerical solution, and a line for the analytical solution (use sufficient points for the analytical solution to be a smooth graph).

(d)  Determine the absolute percent error in the Euler approximation of y(5) .

2.    The mass transport of a pollutant in a well-mixed lake is governed by   + 0.1  C = e一0.2t         with  C(0) = 2  .

(a)  Solve the ODE numerically by hand using Euler’s method with t = 2  from 0  t  20 d .  Show the calculations for all steps of the Euler solution.

(b)  Solve the ODE numerically using Euler’s method with Excel or MATLAB with t = 2  from 0  t  20 d .

Hand in the spreadsheet or script as pdf created by Excel or MATLAB.  Hand in two versions of the spreadsheet, one showing numerical values and one showing formulas (Formulas > Show   Formulas).  Hand in the MATLAB script and including command window output of the t and  C vectors.  The results will be plotted in part (b).

(c)  Solve the ODE numerically using Euler’s method with Excel or MATLAB with t = 0.001 from 0  t  20 d , using the Excel/MATLAB solution developed in part (b).

Describe what changes were made to the Excel spreadsheet or MATLAB script, but do not hand in the spreadsheet/script.  The results will be plotted in part (d).

(d)  Plot your solutions from parts (a), (b) and (c) on the same axes for  0  t  20 d .  Use different symbols for parts (a) and (b), and a line for part (c).

(e)  Briefly explain the similarities and differences in the plotted results.                (f)   Estimate the peak pollutant concentration and the time it occurs in the lake.

3.    If u = 2x2  一 3y2  + xy , show that

x  ?x2  + 2xy ?x?y + y  ?y2   = 2u .

4.    If f (x, y, z) =  , show that

x  + y  + z  = f (x, y, z) .

5.    Find the gradient of f (x, y) = xy ln(x + y) at the point (4, 一2) .

6.    Find   if z = x2y2  + xyt , x = t2 et , y = 2t +  . Show the dependency diagram.

7.    Find ))|y   if u =  , z = x / y . Show the dependency diagram.

8.    Find ))|y   using the chain rule if z = s2 t + sin("t) , s = xy 一 y , and t = x2  +  . Show the dependency diagrams.  Evaluate ))|y   at x = 1 and y = 1 .

9.    A nonreactive air pollutant is released from an industrial stack at a rate of W = 10  .  The pollutant is transported by advection (mean wind velocity) along the positive x -axis, and dispersion (wind      mixing) along the y - and z -axes.  The stack is located at ground level coordinates x = 0  and y = 0 with a height H = 50 m .  The mean wind velocity is v = 4  , and the dispersion coefficients are

c  = 0.3 m2     and c  = 0.5 m2   .

The concentration of the pollutant at ground level ( z = 0 ) is given by

C(x, y) = exp 一  + ))||

At the point (x = 10000, y = 40) m on the ground surface:

(a)  find the pollutant concentration in units of 

(b)  find the concentration gradient in units of 

(c)  find the dispersive mass flux along y -axis in units of  , which is defined as

?C

Jdisp-y  = 一cy   ?y  .