IFY Mathematics Practice Test

a)    Draw a fully labelled tree diagram.

b)    Find the probability that both beads are of the same colour.

Question 4

Solve the equation  2 cos (e +4(冗) ) = √3       (−几 < e < 2几)

Give your answers as exact multiples of 几.

Question 5

a)    Factorise  42x2 − x − 30.

b) Use your answer to part a) to solve   42x2 − x − 30  ≤ 0.

Give your answers in the form      where m and n are integers.

c)     Is your interval in part b) open or closed?  Give a reason for your answer.

Question 6

P

Q

√241  m                              R

Figure 1

Figure 1 shows acute-angled triangle PQR with PQ = 10 metres, PR = 15 metres and QR = √241 metres.  Angle P = e° .

a)    Find cos e.  Give your answer in the form where a and b are integers.

b) Without working out the value of e, show that sin e = .

c)     Find the size of angle R.

Question 7

Find the values of a (where a ≠ 0) if

2a

∫ (3x2 − 8x + 1) dx = 0.

−a

All working must be shown.

Question 8

Solve the equations

a)     2(log4x)2 − 5 log4x + 2 = 0 Show all of your working.

b)     log9 (x2 + 5x + 4) − log9 (x2 − 16) = (x > 4) Show all of your working.

Question 9

The variables P and t are connected by the formula

P = e2t − 7et + 14

a)    Find the value of P when t = ln 3.

b)    Find the exact value of t if  2P = dP Show all working.

c)     Find and explain why it is not possible to find a value of t which satisfies the equation d2P = dP

Question 10

A series is defined as follows

T = 1

a)    Write down the first 4 terms of the series.

b)    Which term in the series is the first to exceed 100?

c)     Find the sum of the first 80 terms.

Question 11

The 3rd term of a geometric series is 16 and the 6th term is where k is a

constant.

Find, in terms of k, the first term and the common ratio.

b)    State the range of values k can take if the series converges.

Question 12

a)    A curve has equation  y = X3 + X2 − 4X + 1.

Find the coordinates where the gradient of the tangent to the curve is 1.

b)    Another curve has equation  y = 5 ln X − sin X + e3X

Find the value of when X =12(冗) .  Give your answer to 3 significant figures.

In this question, 1 mark will be given for the correct use of significant figures.

Question 13

In this question, you may find the following useful:  the volume of a

cone with radius T and height ℎ is given by 几T2 ℎ .

ℎ cm

T cm

Figure 2

Figure 2 shows a cone with radius T cm and height ℎ cm.

The sum of the radius and the height is 9 cm (i.e. ℎ + T = 9. )

Show that the volume of the cone, V, is given by

V = 几(9T2 − T3)

Use calculus to find the value of T which gives the maximum volume, and to confirm that your value of T is a maximum.

Find the maximum volume of the cone.

Question 14

y

NOT TO SCALE

y =  − X2 + 5X −

P(3, 6)

O        (1,0)                                                                        (9, 0)               X

Figure 3

Figure 3 shows the curve  y =  − X2 + 5X − which crosses the X − axis at (1,0)  and  (9,0).  Line l is a normal to the curve at point P(3,6).

Find the equation of line l.  Give your answer in the form  y = mX + .

Show that the tangent at point P goes through the origin.