ORIE 4154/5154 Spring 2023

Part (b)

Given the demand functions above, write the total expected revenue as a function of p.  Compute the optimal price p*  and optimal revenue.

Part (c)

Show that under p* the probability that customer 1 buys the item and the probability that customer 2 buys the item are different.

Part (d)

Now, you would like to impose a fairness condition for the customers’ probabilities of buying the item.  For this, suppose that you would like to find a price p1  for customer 1 and a price p2  for customer 2. Write the optimization problem that maximizes the total expected revenue dependent on p1  and p2 , subject to the buying probabilities being equal (also dependent on p1  and p2 ).

Part (e)

Compute the optimal prices p 1(*)  and p2(*)  of your problem in Part (d); for this part only, you are allowed to use a software, e.g., WolframAlpha. Compare the optimal revenue for this case with the one obtained in Part (b). How do p* , p 1(*)  and p2(*)  relate (in terms of magnitude)?  Comment briefly on the meaning of this.

Multiple fares single-resource capacity allocation

(10pts) Problem 1

Consider the two fare-class allocation problem, with capacity C = 100, fares p1 = 200 and p2 = 100, and demands D1  ~  Uniform{0, 1, . . . , 120}1 and D2  ~  Geometric(1/200).  What is the optimal protection-level for fare-class 1?

(10pts) Problem 2

Suppose there are n fare-classes, C = 12 and the values of ∆Vt-1 (s) for a specific t are given in Table 1.

Table 1: Values ∆Vt-1 (s)

What would be the optimal protection level y*t-1  if the price of the current class t is pt  = 58? What would be the optimal protection level if the price is pt = 38?

(10pts) Problem 3

Suppose you are implementing the policy defined by the optimal protection levels. In stage t, you observed a demand Dt = 25. If the optimal protection level for the future classes is y*t-1 = 10 and the current remaining capacity is st = 30, how many seats do you sell for class t under the optimal policy? Suppose that instead you had a remaining capacity st = 9, how many seats would you sell under the optimal policy?

(30pts) Problem 4: Overbooking

Suppose you are selling tickets for a broadway show.  You have C seats to sell, and customers can reserve a seat in advance by paying a price p.  However, each customer who has a reservation (independently) shows up with probability q and does not show up with probability 1 - q .  We assume that if a customer does not show up, they are NOT refunded their reservation cost.  In order to increase revenues, you can  o"erbook  by admitting b  2 C reservations.   However, each customer who shows up, but is denied admission due to lack of seats, is refunded an amount θ .

Part (a)

Let N(b) be the (random) number of people who shows up to the show assuming that b reservations were allowed. What is the distribution of N(b)?

Part (b)

Let R(b) be the expected profit (i.e., expected earnings minus refund costs) you get if you allow b reservations. Write down an expression for R(b) in terms of p, θ, C and N(b).

Part (c)

Assume that we have the following expression for ∆R(b):

∆R(b) = R(b + 1) - R(b) = q . (p - θP[N(b) 2 C])

Suppose that P[N(b) 2 C] is increasing in b.  Argue that ∆R(b) is decreasing in b.  As we did in class and in HW2, find an expression for the optimal number of reservations b*  that maximizes your profit. The expression should be explicit in terms of q, p, θ, N(b) and C .

Network revenue management

(10pts) Problem 1

Assume you are a revenue manager of an airline. You are in charge of the products that relate to 3 cities:  A, B and C. Your resources are non-stop flights AB and BC. The products offered are: flight AB (non-stop) at price pAB  = 90, flight BC (non-stop) at price pBC  = 200 and flying AC through B (i.e., fly AB and then BC) at price pAC  = 320.  A super computer gave you access to the following table of value functions Vt(sAB , sBC ) for a given t, where sAB  and sBC  indicate the remaining capacities of each resource.  This table allows you to implement the optimal policy we