PSTAT 174/274: Assignment # 1

• All Questions are equally weighted and this worksheet contributes 15% to overall grade. (if included in best 2 out of 3)

• To get full marks you must show all working and justify your solution/discussion or interpret your solution where appropriate.

• If the question is a code question you must comment all code appropriately and present all outputs with correct labelling of plots and discussion/captions.

1.  (174 & 274 attempt) Gaussian  White Noise and its square .

(Total marks for question 33%)

Find out whether each of the following processes {Xt} is weakly stationary or nonstationary.  For the weakly stationary processes, find the mean and autocovariance functions. Consider in each question that {ϵt} ∼ WN (0, σ2 ).

i  (Total marks for sub-question 8.25%)

Xt = µ + ϵt  for some finite constant µ ∈ R.

ii  (Total marks for sub-question 8.25%)

Xt = cos (ω (t − ϕ)) + ϵt  for fixed constants ω and ϕ .

iii  (Total marks for sub-question 8.25%)

X1 = {  0(1 with)ot(p)h(r)is(bi)liety p

and Xt = Xt − 1  for t ≥ 2.

iv  (Total marks for sub-question 8.25%)

X0  = 0, and Xt  = Xt − 1 + ϵt  for t ≥ 1. Hint:   note here that ϵt  must be independent of Xt − 1 .

2.  (174 & 274 attempt) Properties of Stationarity.

(Total marks for question 33%)

i  (Total marks for sub-question 16.5%)

Let {Zt} be  Gaussian white noise, i.e.  {Zt} is a sequence of i.i.d.  normal r.v.s each with mean zero

and variance 1.  Define

Xt  = {  1 − 1)/^2,     i(i)f(f) t(t) i(i)s(s) o(e)d(v)d(en);

Show that {Xt} is WN(0, 1) (that is, variables Xt  and Xt+k, k ≥ 1, are uncorrelated with mean zero and variance 1) but that Xt  and Xt − 1  are not i.i.d.

ii  (Total marks for sub-question 16.5%)

If {Xt} and {Yt} are uncorrelated stationary sequences, i.e., if Xr  and Ys  are uncorrelated for every r and s, show that {Xt  + Yt} is stationary with autocovariance function equal to the sum of the autocovariance functions of {Xt} and {Yt}.