ECMM107R/D Mechanics of Materials 2021

Question 1  (25 marks)

(a)  Using appropriate diagrams, derive the expression relating shear strain to displace- ments in a two-dimensional elastic material. State any assumptions that you make. (5 marks)

(b)  A strain tensor at a particular point in an elastic body is given by

\ 

(1   1   − 1) ,

expressed as percentages and where a is an unknown constant.  An independent experiment has determined that the principal strains are ±^3% and 1%.  Find the value of a. (20 marks)

Question 2  (25 marks)

A stress function, , is given by the following expression

(x,y) =  [x2 (y3 − 3c2y + 2c3 ) − y3 (y2 − 2c2 )]

where q and c are constants.

(a)  Show that  satisies the biharmonic equation ∇4   = 0.                             (8 marks)

(b)  Find the components of stress a北, ay and τ北y for the above stress function. (5 marks)

(c)  Find the components of stress on y = ±c, x = 0 and x = l (l > 0) and deduce the problem solved by the stress function  .                                                     (12 marks)

Question 3  (25 marks)

(a)  When designing a new ship naval architects (marine engineers) usually undertake extensive analysis using methods such as inite element analysis to ensure the ship can withstand expected loading.  Once built, it is also normal that the irst in class of a new ship design will have some experimental stress analysis undertaken as it begins its working life.  This is done to check the patterns of stress predicted in designers’ analyses, and to identify any differences which might indicate problems.

Describe how you would undertake an experimental stress analysis of such a new ship, indicating the key steps in your process.                                              (8 marks)

(b)  Set out your arguments as to why the technique or techniques you have speciied are appropriate for this case. Explain how the results of your investigation could be used to inform the redesign of the ship if required.      (7 marks)

(c)  Describe the principles of operation of the Digital Image Correlation (DIC) method. Include the governing equations relating the measured physical parameters and strain.

Include diagrams and equations in your answer as appropriate.               (10 marks)

Question 4  (25 marks)

(a)  Both the geometric and interference Moiré stress methods require two grids. Draw a labelled diagram showing two Moiré grids on a specimen surface.          (4 marks)

(b)  Show how there is interference between these two grids when the specimen is placed under tension.          (6 marks)

(c)  Show how this interference can be used to measure strain on the specimen surface.    (15 marks)

Question 5  (25 marks)

A tensile test is carried out until a strain of 1.08% at which point it is unloaded and the engineering stress–strain data are listed in Table Q5 below. The diameter of the circular section before testing was 5.00 mm for this specimen, and the minimum diameter was 4.80 mm at strain of 0.0108.

Table Q5: Tensile test data.

(a)  Plot the stress-strain curve and label elastic deformation, yielding, strain hardening. (5 marks)

(b)  Determine the following parameters, elastic modulus, 0.2% offset yield strength, percent elongation, strain hardening ratio and percent reduction in the cross-sectional area after the interruption.     (10 marks)

(c)  Calculate the true strain at engineering strain level of 0.0007 and 0.01.       (4 marks)

(d)  When the specimen is unloaded to 0, calculate i) the elastic strain recovered and the plastic strain remaining; ii) calculate what the new length would be, if the original length of this specimen is 50 mm.     (4 marks)

(e)  If the specimen is loaded again, what would the new yielding strength be?   (2 marks)