STAT 464/864 Assignment 2

• For each question, your solution should start on a fresh page.  You can write your solution using one or a combination of the following three formats:

(1) Use your your own paper.

(2) Use a tablet such as an ipad.

(3) Use document creation software such as Word or LaTeX.

• Write your name and student number on the first page of each solution, as well as the solution number.

• For each question, photograph or scan each page of your solution (unless your so- lution has been typed up and is already in electronic format), and combine the separate pages into a single file. Then upload each file (one for each question), into the appropriate box in Crowdmark.

Instructions for submitting your solutions to Crowdmark are also here.

Total Marks : 25 marks for 464, 35 marks for 864.

The starred question is for STAT864 students only.

1.  (8 marks) In R, simulate a time series of length 300 which is a realization of an AR(1) process (see Example 1.4.5) with AR parameter φ = .7 and noise variance σ 2   = 2.   To do this you can use the specify() function followed by the sim() function in itsmr.  For your simulated time series, estimate the ACF up to lag 24 using two methods. Method 1 is the sample ACF. Method 2 is to first estimate φ by fitting a linear regression model with x2 , . . . ,x300  as the response and x1 , . . . ,x299 as the predictor, and with no intercept term (see the example in Section 1.4.2 for an example of doing this). You can use the lm() function in R to do this. Call the fitted coefficient  . The estimated ACF is then the ACF one obtains from an AR(1) model with AR coefficient  (see Example 1.4.5).  Plot your simulated time series with appropriate axis labels and title. Then plot the ACF estimates from methods

1 and 2, as well as the true ACF, all on a single plot. Compare the ACF estimates in terms of how close they are to the true ACF.

2.  (4 marks) Show, using the geometric series 1/(1 − x) = P xj  for |x| < 1, that 1/(1 − φz) = −P φ−jz−j  for |φ| > 1 and |z| ≥ 1.

3.  (7 marks) Let {Yt } be the AR(1) plus noise time series defined by Yt  = Xt + Wt , where {Wt } is a zero mean WN(1) process and {Xt } is the AR(1) process satisfying Xt − .5Xt−1  = Zt , where {Zt } is a zero mean WN(1) process uncorrelated with {Wt } (i.e., E[Ws Zt] = 0 for all s,t).

(a)  (4 marks) Show that {Yt } is weakly stationary and find its ACVF.

(b)  (3 marks) Show that the time series {Ut }, defined by Ut  = Yt − .5Yt−1 , is weakly

stationary and 1-correlated (that is, γU (h) = 0 for |h| > 1, where γU (h) is the ACVF of {Ut }).

4.  (6 marks) Find a linear filter of the form 1+↵B +βB +γB2 3  (i.e., find ↵ , β, and γ) that passes linear trends without distortion and that eliminates arbitrary seasonal components of period 2. You may use the results of Problem 1.12(a) for conditions to pass a linear trend.