MATH 437/537 HOMEWORK 4

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HOMEWORK  4:  DUE  DECEMBER  5TH

MATH 437/537: PROF. DRAGOS GHIOCA

Problem 1 .  (10 points.) Let α > 2 such that α e R - Q. Recalling the notation

[x] for the greatest integer less than or equal to the real number [x], then we define

S := {[n . α] : n e 勿}.

(i)  Prove that for any integer m > 3, there exist m numbers contained in S which form an arithmetic progression.

(ii)  Prove that there exist no infinite arithmetic progressions contained in S .

Problem 2.  (5 points.) Let g e Q[x] be a polynomial of degree 2022 with rational coefficients. Prove that there exist infinitely many rational numbers q in the interval

(0, 1) with the property that                     

^5g(q)  Q.

Problem  3.  (10 points.)  Let h(x) e 勿[x] be a non-constant irreducible polyno- mial.  Prove that there exist infinitely many primes p with the property that for each such prime p, there exists a positive integer np  such that

p I h(np ) but p2 | h(np ).

Problem 4 .  (10 points.) Let f(x) e 勿[x] be a polynomial of degree m > 1 and let d e N be an integer which does not divide m. Then prove that there exist infinitely many positive integers n with the property that

^df(n)  勿.