MA259 Multivariable Calculus Assignment 3

1.  (a)  Suppose that f : Rn 一 R and r : (a, b) 一 Rn  are continuously differentiable and that r solves the

system of ODEs

d

dt

Prove that if [α, β] 仁 (a, b), then f (r(α)) ≥ f (r(β)) with equality if, and only if, Af (r(α)) = 0 and r(t) = r(α) A t e [α, β].  (See (4.18) in ?4.6.2 in the notes.)

Remark.  Solutions to (1) generate the so-called gradient flow of f .

(b) Let f : R 一 R be differentiable and define u : R2  一 R by  u(x, y) := xf (xy + x).  Show that u

satisfies

∂u                  ∂u

∂x               ∂y

(See ?4.6.4 in the notes.)

(c)  Mean  Value theorem for a scalar-valued function of several variables on a convex set.

Suppose that U is a convex open subset of Rn  and that f e Cī (U).  Prove that, for any x, y e U, 3 θ e (0, 1) such that

f (y) - f (x) = ╱ Af ((1 - θ)x + θy) ← . (y - x).

2.  Consider f e Cī (B, Rk ) for which 3 α > 0 such that

|Df (0)h| ≥ α|h| A h e Rn .

Set A := Df (0) and define F : B 一 Rk  by

F (x) := f (x) - Ax.

(a)  Calculate DF (0).

(b) Use the continuity of DF (x) and the Mean Value Inequality to prove that 3 δ > 0 such that

|F (x) - F (y)| ≤ α|x - y| A x, y e B6 .

(c)  Deduce that

|f (x) - f (y)| ≥ α|x - y| A x, y e B6 .

In particular, f is injective on B6 .  (Compare with Question 6 in Examples Sheet 3.)

Slogan:  If f is continuously differentiable at x and Df is injective at x, then f is injective near x. 

3.  Define f : Rn / {0} 一 Rn  by

x 

f (x) :=

(a)  Calculate the n 人 n Jacobian matrix ∂f (x).

Hint. Write f (x) as the column vector ╱ , . . . , ←T and compute ∂jfi(x). The Kronecker symbol

δij  for the n 人 n identity matrix can be useful in this computation. You are allowed to quote the calculations in Example 4.6.4 in the notes.

(b) For each x e Rn / {0}, let Πx  be the hyperplane orthogonal to x:

Πx  := {v e Rn  : x . v = 0}.

Prove that Πx  is an eigenspace of ∂f (x), whose dimension and corresponding eigenvalue you should state explicitly.

(c) Find the kernel of ∂f (x) and calculate the rank of ∂f (x).

(d)  Optional challenge, not for credit.  Observe that f is the projection of x onto Sn一 ī  along the ray joining 0 and x.  Use this geometric interpretation of f to interpret the results in parts (b) and

(c) geometrically.

4.  Direct verification of Green’s theorem for some special regions .  Mainly first year review.

Given f e Cī ([0, 1]) such that f (0) = k > 0,  f′(t) < 0 A t e (0, 1),  f (1) = 0, let C be the oriented closed curve obtained by going from 0 to 1 along the x-axis, up along the graph of f from (1, 0) to (0, k) and down from k to 0 along the y-axis.

(a)  Recall from First Year Analysis that f′(t) < 0 A t e (0, 1) implies the existence of the inverse function f一 ī : [0, k] 一 [0, 1], which is also differ-

entiable and (f一 ī )′(y) =        1       

Given g e C(R2), use the change of variables (x = f一 ī (y) or, equiva- lently, y = f (x)) formula to show that

\〇ī g(x, f (x)) f′(x) dx = - \〇k g(f一 ī (y), y) dy .

y

1     x