MATH 437/537 HOMEWORK 3

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HOMEWORK 3: DUE NOVEMBER 11TH

MATH 437/537

Problem 1 .  (14 points.) Let f (x) e 勿[x] be the polynomial

f (x) := x8 _ x7 + x5 _ x4 + x3 _ x + 1.

Prove that for each integer n > 1, we have that

n | f /35n _1、.

Problem 2.  (5 points.) Let p and q be prime numbers larger than 4. Show that there exists an integer a > 1 with the property that

either p | 2p _ aq

or q | 2q  _ ap .

Problem  3.   (6 points.)  Find a multiplicative function f  : N _→ N with the property that there are no solutions in positive integers a, b, c, d to the equation

f (a) + f (b) + f (c) = f (d),

but on the other hand, for each positive integer n  3, there exist infinitely many solutions in positive integers to the equation

f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xn ) = f (xn+1).

Problem 4 .  (5 points.)  Prove or disprove the following statement:  there exists no multiplicative function f : N _→ N with the property that for each k e N, the following holds:

nk  

n →( f (n)