Math2306/6406 - Formula sheet Complex Analysis Semester 2, 2022

Analytic:

Definition  (Analytic).  A function  f  of a  complex  variable  is  said  to  be  analytic  (or  holomorphic,  or regular) in an open set S if it has a derivative at every point of S .

If S is not an open set, then we say f is analytic in S if f is analytic in an open set containing S.

Cauchy–Riemann equations:

∂u      ∂v       ∂u         ∂v

∂x     ∂y ,    ∂y        ∂x .

A necessary condition for a function f(z) = u(x,y) + iv(x,y) to be differentiable at a point z0  is that the Cauchy–Riemann equations holds at z0 .

Theorem (Sufficient conditions for differentiability). Let f(z) = u(x,y)+iv(x,y) be defined in some open set S containing the point z0 .  If the first order partial derivatives of u and v exist in S, are continuous at z0 ,  and satisfy the  Cauchy –Riemann equations at z0 , then f is differentiable at z0 .  Moreover,

∂u                  ∂v

∂x                 ∂x

∂v                   ∂u

∂y                  ∂y

Compact and connected sets: Let f : S → C be continuous.  Then, a compact set of S is mapped onto a compact set in f(S), and a connected set of S is mapped onto a connected set of f(S).

Constant functions: If f(z) is analytic in a domain S and f\ (z) = 0 everywhere in S, then f(z) is a constant

in S. If f is analytic in a domain S and |f| is constant there, then f is constant.                  Continuity of complex functions: If f is differentiable at a point z, then f is continuous at z . Derivative of complex functions: The derivative of f at z0  is given by:

df                      f(z0 + ∆z) − f(z0 )

dz           ∆z→0                   ∆z             ,

provided the limit exists.

Derivative of a polynomial: For any positive integer n,

zn = nzn −1 .

Entire:

Definition (Entire).  We  call f analytic  at the point z if f is  analytic in some neighbourhood of z .  If a function f is analytic on the whole complex plane, then it is said to  be  entire .

Function composition:

Theorem. If limz →z0  g(z) = w0  and limw →w0  f(w) = A, then

z0  f(g(z)) = A = f (z0 g(z)) .

Harmonic functions: A real-valued function Φ(x,y) is harmonic in a domain S if all of its second-order partial derivatives are continuous in S and it satisfies Φ北北 + Φyy  = 0 at each point of S.  The functions u(x,y) and v(x,y) are harmonic conjugates of each other if they are harmonic in a domain S and satisfy the Cauchy–Riemann equations at every point of S.  If f(z) = u(x,y) + iv(x,y) is analytic in a domain S, then u(x,y) and v(x,y) are harmonic conjugates of each other in S.

Harmonic functions and analytic mappings Let w = u + iv = f(z) = f(x + iy) be an analytic mapping of a domain D in the z-plane onto a domain Ω in the w-plane. If the function Φ(u,v) is harmonic in Ω, then the function ϕ(x,y) = Φ(u(x,y),v(x,y)) is harmonic in D .