ECMT6007/6702: Econometric Applications Problem Set 7

Question 1.

Testing the Efficient Markets Hypothesis

(i)  Test:

H0  : β 1  = 1

H1  : β 1    1

Test Statistic:

βˆ1  - 1 

se (βˆ1 )

图 1.104 - 1.0 图

= 图  0.039      图

= 2.67

Rejection Rule: Reject H0  in favour of H1  if |t|  > c, where t is the t-statistic and c is the critical value for the t-distribution with df = 121 and a 1% significance level. Now |t| = 2.67 and c = 2.617.

Decision: Since |t| > c we reject the null at the 1% significance level.

Conclusion: The two three-month investments have (statistically) significantly different yields and represent different investments.

Does the estimate seem practically different from one?  It is hard to know whether the esti- mate is practically different from one without comparing investment strategies based on the theory (β1  = 1) and the estimate (β1  = 1.104). Though, the estimate is 10% higher than the

theoretical value, so we could suspect this is practically significant.

(ii)  (a)  Test:

H0  : β 1  = 1

H1  : β 1    1

Test Statistic:

βˆ1  - 1 

se (βˆ1 )

图 1.053 - 1.0 图

= 图  0.039      图

= 1.36

Rejection Rule: Reject H0  in favour of H1  if |t|  > c, where t is the t-statistic and c is the critical value for the t-distribution with df  =  120 and a 1% significance level.  Now |t| = 1.36 and c = 2.617.

Decision: Since |t|  c we do not reject the null at the 1% significance level.                     Conclusion:  Conditional on the interest rate spread, the two three-month investments are not (statistically) significantly different investments.

Test:

H0  : β2  = 0

H1  : β2   0

Test Statistic:

βˆ2       

se (βˆ2 )

图0.480 图

= 图0.109 图

= 4.40

Rejection Rule: Reject H0  in favour of H1  if |t|  > c, where t is the t-statistic and c is the critical value for the t-distribution with df  =  120 and a 1% significance level.  Now |t| = 4.40 and c = 2.617.

Decision: Since |t| > c we reject the null at the 1% significance level.

Conclusion: Contrary to the expectations hypothesis, the lagged spread in rates in very significant in explaining the three-month holding yield on six-month T-bills.                     According to this equation, if, at the time of t − 1, r6 is above r3, should you invest in six-month or three-month T-bills?

Based on the estimated equation, when the lagged spread is positive, the predicted holding yield on six-month T-bills is above the yield on three-month T-bills (even if we impose β 1  = 1), and so we should invest in six-month T-bills.

(iii)  In terms of the AR(1), the coefficient on the lagged term (ρ1 ) appears to be close to 1.  This suggests that the sequence hy3t is highly persistent (that is, it is not weakly dependent, which is what we need in order to justify our estimation and testing procedures). It is possible |ρ1 | = 1, implying hy3t is a unit-root process, which would mean the usual t-test procedures above are not valid.

Question 2. Computer Exercise: Housing Investment

(i)  Report mean, minimum and maximum values and standard deviation of the variables in the dataset.

Table 1: Summary Statistics

year		t	linvpc	lprice
mean	1967.5	21.5	-0.6662	-0.0934
min	1947	1	-1.0101	-0.0934
max	1988	42	-0.3518	0.0423
std dev	12.268	12.268	0.1725	0.0635

(ii)  Find the first order autocorrelation in log (invpc).  Now find the first order autocorrelation after linearly detrending log (invpc). Do the same for log (price). Based on the sample auto- correlations, do you suspect either of the two series have a unit root?

Table 2: First Order Autocorrelations

ρˆ
log (invpct)                     log (invpct) – detrended log (pricet) log (pricet) – detrended	0.6391 0.4847 0.9492 0.8215

Using a rule of thumb, the high first order autocorrelations for the log (pricet) series suggests that it contains a unit root.

(iii)  Carry out a formal Dickey-Fuller test of the null hypothesis that log (invpc) has a unit root

(against the alternative it is weakly dependent) using a 10% significance level. Do the tests for the case with and without a linear trend in log (invpc).

Steps:

1.  Run the regression ∆yt  = α + θ yt − 1 + ut, where θ = ρ − 1

2.  Test H0  : θ = 0 against H1  : θ < 0, using t-ratio (and DF critical values).

No Linear Trend

Test

H0  : θ = 0

H1  : θ < 0

Test Statistic:

θˆ     

se ( )θˆ

−0.366

=

0.1222

= −3.00

Rejection Rule:  Reject H0  in favour of H1  if t  <  c, where t is the t-statistic and c is the critical value for the DF distribution with df = 39 and a 10% significance level. Now t = −3.00 and c = −2.57 (from Wooldridge Table 18.2 or lecture notes).

Decision: Since t < c we reject the null in favour of the alternative at the 10% significance level.

Conclusion: The raw log (invpct) series does not contain a unit root. (b)  Linear trend

Test

H0  : θ = 0

H1  : θ < 0

Test Statistic:

θˆ     

se ( )θˆ

−0.5184

=

0.1412

= −3.67

Rejection Rule:  Reject H0  in favour of H1  if t  <  c, where t is the t-statistic and c is the critical value for the DF distribution with df = 38 and a 10% significance level. Now t = −3.67 and c = −3.12 (from Wooldridge Table 18.3 or lecture notes).

Decision: Since t < c we reject the null in favour of the alternative at the 10% significance level.

Conclusion: The detrended log (invpct) series does not contain a unit root.

(iv)  Repeat the Dickey-Fuller tests for the null that log (price) has a unit root using a 10% signifi- cance level. What do you conclude?

No Linear Trend

Test

H0  : θ = 0

H1  : θ < 0

Test Statistic:

θˆ     

se ( )θˆ

−0.0661

=

0.0496

= −1.33

Rejection Rule:  Reject H0  in favour of H1  if t  <  c, where t is the t-statistic and c is the critical value for the DF distribution with df = 39 and a 10% significance level. Now t = −1.33 and c = −2.57.

Decision: Since t > c we do not reject the null at the 10% significance level. Conclusion: The raw log (pricet) series contains a unit root.

Linear trend

Test

H0  : θ = 0

H1  : θ < 0

Test Statistic:

θˆ     

se ( )θˆ

−0.1792

=

0.0922

= −1.94

Rejection Rule:  Reject H0  in favour of H1  if t  <  c, where t is the t-statistic and c is the critical value for the DF distribution with df = 38 and a 10% significance level. Now t = −1.94 and c = −3.12.

Decision:  Since t  > c we do not reject the null in favour of the alternative at the 10% significance level.

Conclusion: The detrended log (pricet) series does contain a unit root.

(v)  Based on the finding from the preliminary analysis, estimate the equation: log (invpct) = β0 + β1 ∆ log (pricet) + β2 t + ut

and report the results in the usual form. Interpret the coefficient βˆ1 and determine whether it is statistically significant (at the 5% level).

log—(invpct) = −0.853 + 3.8786 ∆ log (pricet) + 0.0080 t (0.0403)(0.9580)                          (0.0016)

T = 41,     R2  = 0.5099,     2  = 0.4841

The coefficient β 1  represents the proportional change in expected real housing investment per capita above its trend due to a growth in annual housing prices, cet. par.  The estimates imply that a 1 percentage point increase in the growth in housing prices leads to a 3.88 percent increase in housing investment above trend.

Test:

H0  : β 1  = 0

H1  : β 1   0

Test Statistic:

I     βˆ1       I

Ise (βˆ1 ) I

3.8787

= 0.9580

= 4.05

Rejection Rule: Reject H0  in favour of H1  if |t|  > c, where t is the t-statistic and c is the critical value for the t-distribution with df = 38 and a 5% significance level. Now t = 4.05 and c = 2.021.

Decision:  Since t  > c we reject the null in favour of the alternative at the 5% significance level.

Conclusion:  The growth in housing prices has a statistically significant effect on housing investment.

(vi)  Linearly detrend log (invpct) and use the detrended version as the dependent variable in the regression model (1) in part (v). What happens to the R2?

log—(invpct) = −0.0120 + 3.8786 ∆ log (pricet) − 0.0001 t (0.0403)  (0.9580)                           (0.0016)

T = 41,     R2  = 0.3026,     2  = 0.2659

By using the detrended log (invpct) series, the R2 drops from 0.5099 to 0.3026. The difference is simply due to the time index ‘explaining’ the trend in log (invpct).

[Does the model in (v) really provide a superior explanation of log (invpct)?]

(vii)  Now use ∆ log (invpct) as the dependent variable in the model:

∆ log (invpct) = β0 + β1 ∆ log (pricet) + β2 t + ut

How do your results change from part (v)? Is the trend still significant (at the 5% level)? Why or why not? Explain.

∆ lonvpct) = 0.0059 + 1.5665 ∆ log (pricet) + 0.000037 t (0.0479)  (1.1392)                          (0.0019)

T = 41,     R2  = 0.0475,     2  = −0.0026

This model explains the change (or growth rate) in annual housing investment as a function of the growth in housing prices plus a time trend. The model explains little variation in the growth of housing investment (and the coefficient on ∆ log (pricet) is much smaller in mag- nitude, and the model has no significant explanatory power).  It is not surprising that the estimate on the trend term is very small because differencing the data removes linear time trends from the series.

This is in contrast to the model in (v) which explains the log of housing investment; in that model the growth in housing prices had a statistically (and economically) significant impact on the on housing investment.

Test

。0  : β2  = 0

。1  : β2   0

Test statistic:

I     βˆ2       I

Ise (βˆ2 ) I

0.000037

=   0.0019  

= 0.02