Question 1

The arc length of a segment of a parabola ABC of an ellipse with semi-minor axes a and b is given approximately by:

LABC    = √b2  + 16a2  + ln ()

Write a universal, user-friendly code, test your programme and determine LABC   if a = 11 cm and b = 9 cm.

[4 marks]

Question 2

The voltage difference Vab  between points a and b in the Wheatstone bridge circuit is:

R1 R3  − R2 R4

(R1  + R2)(R3  + R4)

Write a universal, user-friendly code. Test you programme calculating the voltage difference when V = 14 volts, R1  = 120.6 ohms, R2  = 119.3 ohms, R3  = 121.2 ohms, and R4  = 118.8 ohms.

[5 marks]

Question 3

Newton's  law  of  cooling  gives  the  temperature  T(t)  of  an  object  at  time  tin  terms  of  T0,  its temperature at t  =  0, and TS , the temperature of the surroundings.

T(t) = TS  + (T0  − TS )e−kt

A police officer arrives at a crime scene in a hotel room at 9:18PM, where he finds a dead body. He immediately measures the body's temperature and find it to be 26.4° C. Exactly one hour later he measures the temperature again, and find it to be 25.5° C. Determine the time of death, assuming that victim body temperature was normal (36.6° C) prior to death, and that the room temperature was constant at 20.5° C.

[10 marks]

Question 4

The volume of the parallelepiped shown can be calculated by TOB   ·  (TOA  ×  TAC ). Use the following steps in a script file to calculate the area. Define the vectors TOA, TOB , and TAC from inputted positions of points A, B, and C. Determine the volume by using MATLAB 's built-in functions dot and cross.

[4 marks]

Question 5

The position as a function of time (X (t),y(t)) of a projectile fired with a speed of v0  at an angle a is given by

X (t) = v0 cos a ⋅ t, y(t) = v0 sin a ⋅ t −  gt2

where g = 9.81 m/sec2 . The polar coordinates of the projectile at time t are (T (t), e(t)), where

T (t) = √X 2 (t) + y2 (t),  tan e(t) =

Write a universal, user-friendly code. Test case: v0  = 162 m/sec and a = 70° . Determine T(t) and e(t) for t = 1, 6, … , 31 sec.

[6 marks]

Question 6

The  ideal gas equation states that P = , where P  is the  pressure, V  is the volume, T  is the

temperature, R = 0.08206 (L atm)/(mol K) is the gas constant, and n is the number of moles. Real gases, especially at high pressure, deviate from this behaviour. Their response can be modelled with the van der Waals equation

nRT         n2 a

P =                  −         

where a and b are material constants. Consider 1 mole (n = 1) of nitrogen gas at T = 300K. (For nitrogen gas a = 1.39 (L2 atm)/mol2, and b = 0.0391 L/mol.) Create a vector with values of Vs for 0. 1 ≤ V ≤ 1 L, using increments of 0.02 L. Using this vector calculate P twice for each value of V, once using the ideal gas equation and once with the van der Waals equation. Using the two sets of values for P,

calculate the percent of error () for each value of V . Finally, by using MATLAB's built-in

function max, determine the maximum error and the corresponding volume.

[4 marks]

Question 7

A food company manufactures five types of 8 oz Trail  mix packages  using  different  mixtures of peanuts, almonds, walnuts, raisins, and M&Ms. The mixtures have the following compositions:

How many packages of each mix can be manufactured if 128 lb of peanuts, 118 lb of almonds, 112 lb of walnuts, 112 lb of raisins, and 104 lb of M&Ms are available? Write a system of linear equations and solve.

[5 marks]

Question 8

The electrical circuit shown consists of resistors and voltage sources. Determine i1, i2,  i3, i4, and i5, using the mesh current method based on Kirchhoff's voltage law

V1  = 40  V,  V2  = 30  V,  V3  = 36  V,  R1  = 16  Ω,  R2  = 20  Ω,  R3  = 10  Ω,  R4  = 14  Ω,  R5  = 8  Ω, R6  = 16 Ω, R7  = 10 Ω, R8  = 15 Ω, R9  = 6 Ω, R10  = 4 Ω .

[6 marks]

Question 9

A student has a summer job as a lifeguard at the beach. After spotting a swimmer in trouble, they try to deduce the path by which they can reach the swimmer in the shortest time. The path of shortest distance (path A) is obviously not the best since it maximizes the time spent swimming (they can run faster than they can swim). Path B minimizes the time spent swimming, but is probably not the best, since it is the longest (reasonable) path. Clearly the optimal path is somewhere in between paths A and B.

Consider an intermediate path C and determine the time required to reach the swimmer in terms of the running speed vTun  = 3 m/sec, the swimming speed vswim  = 1 m/sec, the distances L  =  48 m, ds    =  30 m, and dw    =  42 m; and the lateral distance y at which the lifeguard enters the water. Create a vector y that ranges between path A and path B (y = 20, 21, 22, ... , 48 m) and compute a time t for each y . Use MATLAB built-in function min to find the minimum time, and the entry pointy for which it occurs. Determine the angles that correspond to the calculated value of y and investigate whether your result satisfies Snell's law of refraction:

sin p        vTun  

=

sin a      vswim

Is there any other way to optimise the path?

[10 marks]

Question 10

In a typical tension test a dog bone shaped specimen is pulled in a machine. During the test, the force needed to pull the specimen and the length L of a gauge section are measured. This data is used for plotting a stress-strain diagram of the material. Two definitions, engineering and true, exist for stress

and strain. The engineering stress GC  and strain cC  are defined by GC  =  and cC  = , where L0

and A0  are the initial gauge length and the initial cross-sectional area of the specimen, respectively.

The true stress Gt  and strain ct  are defined by Gt  =  and ct  = ln  .

The following are measurements of force and gauge length from a tension test with an aluminium specimen. The specimen has a round cross section with radius 6.4 mm (before the test). The initial gauge length is L0  = 25 mm. Use the data to calculate and generate the engineering and true stress- strain curves, both on the same plot. Label the axes and use a legend to identify the curves. Units: When the force is measured in newtons (N) and the area is calculated in m2, the unit of the stress is pascals (Pa).

[8 marks]

Question 11

A railroad bumper is designed to slow down a rapidly moving railroad car. After a 20,000 kg railroad car traveling at 20 m/sec engages the bumper, its displacement X (in meters) and velocity v (in m/sec) as a function of time t (in seconds) is given by:

X (t) = 4.219(e−1. 58t  − e−6.32t) and v(t) = 26.67e−6.32t  − 6.67e−1. 58t

Plot the displacement and the velocity as a function of time for 0 ≤ t ≤ 4 sec. Fit two plots at the top of the window and a plot of both with two vertical axes underneath them. All plots must be of the printing quality.

[8 marks]

Question 12

Aircraft A is flying east at 320 mi/hr, while aircraft B is flying south at 160 mi/hr. At 1:00 p.m. the aircraft are located as shown.

Obtain the expression for the distance D between the aircraft as a function of time. Plot D versus time until D reaches its minimum value. The plot must be of a printing quality. Use the roots function to compute the time when the aircraft are first within 30 mi of each other.

[6 marks]

Question 13

A two-dimensional state of stress at a point in a loaded material in the direction defined by the X − y coordinate system is defined by three components of stress G , Gyy  and Ty . The stresses at the point  in  the  direction  defined  by  the  X′ −  y′  coordinate  system  are  calculated  by  the  stress transformation equations:

G − Gyy         G + Gyy

Gy ′y ′   = G + Gyy  − G ′  ′

G − Gyy

where e is the angle shown in the figure. Write a user-defined MATLAB function that determines the stresses G ′  ′ , Gy ′y ′  and T ′ y ′  given the stresses G , Gyy  and Ty , and the angle e . For the function name and arguments, use ]S?Join[ =S?JassTJons )S‘ ?V(. The input argument S is a vector with the values of the three stress components G , Gyy  and Ty  and the input argument ?V is a scalar with the value of e . The output argument S?Join is a vector with the values of the three stress components G ′  ′ , Gy ′y ′  and T ′y ′ .

[7 marks]