Question 1 (20 Marks)

An economy consists of two consumers,  named  i  =  1, 2.   The economy exists in discrete time for periods t  ≥ 0.   There is one good in the economy, which is not storable and arrives in the form of an endowment stream owned by each consumer. The endowments to consumer i = 1, 2 are

yt(1) = st

yt(2) = 1

Where st  is a random variable governed by a two-state Markov chain with values st = 1 = 0 or st = 2 = 1. The Markov chain has time-invariant transition probabil- ities denoted by π (st+1 = s\|st = s) = π (s\|s), and the probability distribution over the initial state is π0 (s). The aggregate endowment at t is Y (st) = yt(1) + yt(2) .

Let ci  denote the stochastic process of consumption for agent i.  Household i orders consumption streams according to

∞

U (ci) = 工工 βt ln [ct(i) (st)]π (st)

t=0   st

where π (st) is the probability of the history st = (s0 ,s1 , ...,st)

(a)  Give a formula for π (st) (4 Marks)

Let θ ∈ (0, 1) be a Pareto weight on household 1. Consider the planning problem

max {θ ln (c1 )+ (1 − θ)ln (c2 )}

c1 ,c2

Where the maximisation is subject to

ct(1) (st) + ct(2) (st) ≤ Y (st)

(b)  Solve the Pareto problem, taking θ as a parameter (4 Marks)

(c)  Define Arrow-Debreu competitive equilibria with history dependent Arrow-Debreu securities traded once and for all at time 0. Be careful to define all of the object  that compose a competitive equilibrium (4 Marks)

(d)  Compute the competitive equilibrium price system (i.e., find the prices of all of the Arrow-Debreu securities) (4 Marks)

(e)  Tell the relationship between the solutions (indexed by θ) of the Pareto problem

and the competitive equilibrium allocation. If you wish, refer to the two welfare theorems (4 Marks)

Question 2 (20 Marks)

Consider the recursive equilibrium in Lagos  (2010), specifically the case where eq- uities and bonds have different liquidity.  We know that ϕt(s)  = ϕs (xt), ϕt(b)  = ϕb (xt) and using wt   = w (xt) ≡   .   In addition,  λt(s)   = λs (xt) ≡ U\ (xt)[ϕs (xt) + xt], and λt(b)   =  U\ (xt).   Also we know, that the government follows the stationary pol- icy  Bt+1   =  B (xt),  and  that  the  aggregate  state  follows  a  Markov  process  with P{xt+1  ≤ x\|xt = x} = F (x\,x) and that the asset prices satisfy

U\ (x)ϕs (x) = β \ U\ (x) [ϕs (s\)+ x\] dF (x\,x)

U\ (x)ϕb (x) = β \ [1 + α (  − 1)] U\ (x\) dF (x\,x)

Where ωe = 1 ωe (x) d (x), where

ωe (x) = 1 −                     1 U\ (x\) dF (x\,x)                     

1 [1 + α (  )] U\ (x\) dF (x\,x)

Suppose θ = 1, U (c) =  , u(q) =  and e(q) = q with σ > 0 and ρ > 0.

(a)  Show that the ωe (x) can be written as

ωe (xt) = 1 −                              1                             

\ xdF(xt+1,xt)

(5 Marks)

Suppose that Bt+1 = Bxγ , with 0 ≤ γ ≤ σ

(b)  Comment on what γ = 0 and γ = 1 imply about the outstanding bond supply

(5 Marks)

(c)  Show that the ωe (x) can be written as

ωe (xt) = 1 −                                     1                                    

\ max{ () −ρ −1 ,0 }xdF(xt+1,xt)

1 + α                  \ xdF(xt+1,xt)

(5 Marks)

(d)  Comment on what this equation implies about the equity premium puzzle (5 Marks)

Question 3 (20 Marks)

Consider a modified version of Rocheteau and Wright (2013), in this case stocks st (equity claims on firm revenue) can be authenitcated at no cost in the DM, so that they can also be used to facilitate DM trade.   Then a household with a portfolio (at,st) obtains yt units of DM output, where yt = y ∗ if (qt+ κ)at+Rtst  ≥ ω (y∗ ) and (qt+ κ) at + Rtst = ω (yt) otherwise.

(a)  Show that the households problem is given by

a 0 { − (β−1 − ) qt−1a −‘β−1 − Rt)s + α(nt)θ [u(yt) − c(yt)]}

(5 Marks)

(b)  Show that the assets have the same rate of return and explain why this must be

the case (5 Marks)

We can show that the number of firms solves

β {1 + α(nt) [ ]}[  (1 − θ)[u(yt) − c(yt)] + f (1)] = kf

Consider the case where firms have no bargaining power in the DM, θ = 1

(c)  Show that in steady state the asset price is given by

(5 Marks)

(d)  Comment on your results (5 Marks)