1.     (Implications) It looks like Proposition  2.4 is the backbone of the implications,  and Proposition  2.9 facilitates the arguments about implication.

a)   Use (perhaps a combination of) proposition 2.4 and definition 2.1 to demonstrate (prove) the following implication (is a valid argument):

{p -→ rp  q -→ r} E  (p ^ q) -→ r

b)  We know from Boolean Logic that the operation A is commutative operation, that is, 8 A ,  “is same as” , A 8. What this means is that

{8 A ,} E , A 8p   and  {, A 8} E 8 A ,

Prove one of the above implications, say prove {8 A ,} E , A 8.

2.   In each case below, present a properly organized and well documented deduction in the format presented in the workbook:

a)  Problem 3.3 (1) (without using 3.8)

b)  Problem 3.9 (1) (without using 3.8)

c)  Problem 3.9 (3) (using 3.8)

d)   Back to part (b) of the previous question, we like to show the commutativity of the operation A for 上. Prove, for formulas 8 and , of cP  that {, A 8} 上 8 A , .   (Please note, this question needs more space than given below. You may prove pieces of this proof separately and then quote them in the middle of your final proof. Please prove any component of 3.9 that you may use in your proof.  However there will be part mark if you use properties presented in 3.9, but not a lot.)

3.   History: Demonstration system of Aristotle basically deduces a given statement. Aristotle claims that those statements that are, (are true,) must have a demonstration, and those who don’t have demonstra- tion, cannot be (be true.)  Therefore, he concludes, whatever is, is necessarily so.  (Side note:  this means that whatever has happened, has happened out of a necessity. What does it mean in terms of free will and human destiny?)

a)   Briefly explain why Aristotle thinks whatever is must be necessarily so.  The answer is one short, concise paragraph, clearly written, well edited, not even filling all this space.

b)  Based on the course material, about the language cP , would you agree with Aristotle? If so, exactly which facts (Propositions or theorems) coincides with Aristotle’s belief?

4.   (Language) This is a mini project.  We made an abbreviation that for formulas 8 and , of the language cP , 8 V , stands for -8 -→ , . How would you explain, express, and justify the commutativity of the V operation?  (Note that the commutativity of V was addressed in the tutorial, however the tutorial discussion was certain technical aspect of this question in which we allowed application of 3.9 results. In this question we are not allowed to use the results from 3.9, so any technical discussions need to be proven directly.  One can still have 3.9 in mind and bring into informal discussions if needed.

5.   (Chapter 4, Soundness and Completeness of cP )

a)  Prove the Soundness Theorem (this is a good practice with the definition of a deduction 3.3); that is, given a set of formulas ∆ and a formula 8, assume ∆ 上 8 and prove ∆ E 8. (Please note, this argument is partially given in page 12 of lecture 5 slides. Please try to follow the steps of the sketch given in that page.)