Graduate Qualities:

This project is designed to help develop Graduate Qualities 1, 2 3, 4 and 5, namely Body of Knowledge, Lifelong Learning, Effective Problem Solving, Working Autonomously and Collab- oratively, and Ethical Action and Social Responsibility.

Assessment:

The assessment will take into account all of your documentation of the mathematical analysis of the problem, your MATLAB  file(s)  (including proper parameter entry), your output, the correctness of the final solutions and the presentation of your whole report.

Ground rules for internal students

1. This is a group project, and each group should have exactly two students.

2. The two students must share the work equally between them.  Each group member will be awarded individually the mark allocated to the report.  If the group members have not made an equal contribution according to the details provided on the Peer Assessment form, the Course Coordinator may adjust the marks accordingly.

3. We will keep a list of all groups. Please advise your prac supervisor who you will partner with.

4. Each team member must participate in all aspects of the project: mathematical calcula- tions, MATLABwork, and report writing.

Do not allocate one group member the MATLABwork, and the other the task of report writing. Trust me, this never works out well.

Do not allocate one person the first half of the project, and the other the second half. This doesn’t work either.

5. It sometimes happens that a student will come to me close to the end of the project and say “Oh, I don’t have a group yet” .  Don’t be that person. It is in your interest to find a partner in good time – preferably before prac 3.

6. It sometimes happens that one partner feels as though they are carrying the group and the second partner is not contributing. If that happens, I need to be informed immediately.

7. It sometimes happens that two partners do not get along, even though both are con- tributing to the project. If you feel uncomfortable in your group, let me know as soon as possible.

8. If you wish, you may submit a peer assessment by using the form that can be found on the course webpage.  Details for submission of the peer assessment can be found on the peer assessment sheet.

9. Under exceptional circumstances, we can allow a student to carry out the project indi- vidually. In this case, approval must be given by me. If a student elects to do the project individually, then that student must take full responsibility for the extra workload.

10. The University policy on plagiarism will apply between different groups.

Ground rules for external students

1. All of the previous rules apply.  Collaboration between partners will take place online, through email, OneDrive, and Lync (a virtual classroom tool).  If there is someone you wish to work with, please advise the Course Coordinator.  Anyone who does not form a group will be randomly allocated a partner.

2. The University provides resources for online collaboration, found at the UniSA Anywhere site. Here is the link:

http://w3.unisa.edu.au/ists/new/students/software-apps/unisa-anywhere.htm Internal students may also use these tools if they wish!

Presenting your work:

· Use a group coversheet.

· Your report should include:

1. A brief introduction (description of the problem, objectives of your report, etc).

2. Written worked answers to all numbered Questions where this is required.  Some Tasks will also require you to write something in your report (this is clearly indi- cated).

3.  Appropriately labelled figures where required. Any necessary diagrams may be neatly hand-drawn.

4. A brief conclusion.

· Your MATLAB or Excel files should include:

1.  Code relating to each Task outlined below, together with appropriate explanatory comments. Be sure to list all group members at the top of the file(s).

Submission:

·  One member of your group should submit (1) your report, and (2) your MATLAB file(s)

or Excel spreadsheet via learnonline.

A Forced Spring System

Later in the semester, we will see that the motion of a damped, forced spring like that shown in Figure 1 can be modelled by the initial value problem

m       + c     + ky = F (t)

(1)

where y(t) is the position of the mass at the end of the

spring (relative to its resting place), F (t) is the force that

is applied to the mass, m is the mass, c is the damping

coefficient and k is the spring constant.

The initial conditions for the problem are

y(0) = y0      and   y\ (0) = y1

In this project, we’ll assume the forcing term is oscillatory so that

F (t) = F0 cos(ωt)

where ω is the forcing frequency and F0  is a constant.

This project has 4 parts.

Part 1: An undamped spring with external forcing

For an undamped spring, the spring constant is c = 0, so that the model equation reduces to

m       + ky = F (t)

where F (t) is as given above. In this section, we’ll use the initial conditions

y(0) = 0   and   y\ (0) = 0

(2)

(3)

Question 1  Carefully explain what each of the initial conditions in equation (3) mean.  What is the behaviour of the mass when t = 0?

Later in the semester, we’ll learn how to solve these types of equations. The solution is

y(t) =  !cos(ωt) - cos !.  t((                                   (4)

For the following questions, you should not substitute any values for the parameters.

Question 2  Find the derivative, y\ (t), of the solution given in (4) .  What does the derivative tell you about the motion of the mass?

Question 3  By substituting solution (4) into the model equation (2), show that this is indeed a solution, as long as ω 2     .  You should also show that both initial conditions are satisfied.

For the following tasks, use m = 1kg, F0  = 1N, k = 25Nm一1  and ω = 2rad s一1 .

Task 1

(a)  Create a MATLAB script file and enter all of the parameter values listed above.  Be sure

to name your parameters appropriately.

(b)  Create a plot of the solution (i. e.  t against y(t)) for 0 ● t ● 12 .  Include this figure in

your report and label it Figure 1 .

For MATLAB   you’ll need to first create a time vector, then calculate the solution.

On this plot, you should include a horizontal line at y = 0 . Note that you’ll need to choose a small time step to ensure that the plots are smooth (try 0. 025) .

(c)  Create a plot in the  “phase plane” .  To do this, first calculate the derivative of the solution (from Question 3) by creating another vector (MATLAB) .  Then create a plot that shows y(t)  against y\ (t) .  Include this figure in your report and label it Figure 2.  Be sure to include appropriate axes labels, etc.

(d)  Vary the value the driving frequency, ω, taking note of what happens to the plots as you increase it from 2 to 4  (try using steps of 0.5) .  Pay close attention if the scales on the axes change. Make a note of your observations in your report.

Question 4  Use the trigonometric identity

cos(A) - cos(B) = 2 sin ╱ 、sin ╱ 、

to rewrite the solution in equation (4) in a different form.  There are two apparent frequencies

.(in)d(.)

wavelengths gets longer as ω gets closer to .  = 5 (hint: plot graphs of sin(t) and sin /、or even sin / 、) .

The phenomenon you observe is called beats.

Task 2  Vary ω  again  and gradually  make  it  even  closer to  5.    You  may  want  to plot  the behaviour for a longer time period. Describe in your report what happens (you should use words like amplitude and oscillation) .

The phenomenon you observe here is the onset of resonance.

Part 2: An undamped spring with no forcing

Start a new MATLAB script file for this section.

If the spring is not forced (i.e. there is no hand to jiggle it up and down), we must change the initial conditions in order to induce some motion. For this section, we’ll assume that

y(0) = y0      and   y\ (0) = 0                                                 (5)

If there is no damping and no forcing  (F0   =  0),  the solution to equation  (2) with initial

conditions (5) is given by

y(t) = y0 cos !.  t(                                                    (6)

In this section you’ll try to match the solution given above to some experimental data to deter-   mine the spring constant. The experimental data is recorded in the file SpringDataUndamped .txt. The fist column gives the recorded time t, and the second column is the recorded position of   the mass, y(t). The mass on the end of the spring was recorded to be 550g.

Question 5  Carefully explain what the first initial condition in (5) means.  By looking at the data in the file SpringDataUndamped .txt, write down the value of y0 .

Task 3

(a)  Load the experimental data into MATLAB .

For MATLAB, you’ll need to use the dlmread command.

(b)  Create a scatter plot of the experimental data (i. e. use dotpoints rather than a continuous

line) .

(c)  Use equation  (6) to calculate the solution and plot this on the same figure using a solid line.   Vary the value of the spring constant k  to find the value that makes the solution appear to best fit the data (you don’t need to do a least squares fit, just choose the value

that  “looks” the best) .  Write this value (to one decimal place) in your report. Include this figure in your report and label it Figure 3.

Question 6  How well does the model solution approximate the data?  What might account for the differences between the data and the solution?

Part 3: A damped spring with external forcing

Start a new MATLAB script file for this section.

For an damped spring, the damping coefficient, c, is not zero.  For this part of the project, return the other parameters to their original values (m = 1kg, F0   = 1N, k = 25Nm一1  and ω = 2rad s一1 ).  In the case of a damped spring, we must use the original model equation (1). Since we have a forcing term again, we’ll use the initial conditions

Later in the semester, we’ll solve equations like this to find that the solution is

y(t)   =   exp ╱ - t、┌a1 cos ╱  t、+ a2 sin ╱  t、┐

+ α ┌(k - mω 2 ) cos(ωt) + cω sin(ωt)┐                                                    (7)

where

a1  = -α(k - mω ),    a22  = - ,    α =

Task 4

(a)  Using a value of c = 0.2kg s一1 , plot the solution (7) for 0 ● t ● 20 . Include this figure in

your report and label it Figure 4 .

(b)  Vary the values of c and ω to answer the following questions.  You may want to plot the

solution for a longer time period.

Question 7

(a)  How does damping affect beats?

(b)  In a damped system, the resonant frequency is given by

^4km - c2

2m

How does damping affect near resonance?

(c)  What implications do you think this would have for the design of systems that oscillate or vibrate?  (e.g. stereo systems, washing machines, other mechanical devices)

Part 4: A damped spring with no forcing

Start a new MATLAB script file for this section.

If the damped spring is not forced, we must change the initial conditions to induce some motion. Once again, we’ll assume that the initial conditions are

y(0) = y0      and   y\ (0) = 0

In this section you’ll try to match the solution given below to some experimental data to deter-      mine the damping coefficient. The experimental data is recorded in the file SpringDataDamped .txt. The fist column gives the recorded time t, and the second column is the recorded position of     the mass, y(t). The mass on the end of the spring was recorded to be 550g, and the spring used      was the same one as in the first experiment (i.e. you can use the value for k that you found in      Task 3).