Question 1 (9 marks)

Consider the system of equations

x  + 2y  +  2z  =  2

2x  + 5y  +  3z  =  5

x  + 3y  + k2 z  =  k + 2

where x, y, z e R and k e R.

(a)  Determine the values of k, if any, for which the system has

(i) a unique solution,    (ii) no solutions,    (iii) infinitely many solutions. (b) Find all solutions to the system when k = 1.

Question 2 (11 marks)

Calculate the following, if they exist:

(i) AB,       (ii) BCT .

(b)  Prove that if A and B are matrices such that AB and BA are both defined, then AB and BA are both square matrices.

(c) Use cofactor expansion to find the determinant of the matrix

┌┐

' '

where a, b, c, d are complex numbers.

When is A invertible? Explain your answer.

Question 3 (5 marks)

Let

A =  ┌1(0)   1

'

1(1)┐

0' .

(a) Verify that A2 _ A = 2I, where I is the 3 × 3 identity matrix.

(b)  Deduce from part (a) that A is invertible, and that A一1 =  (A _ I).

Question 4 (12 marks)

Consider the points P (1, 1, 0), Q(0, 1, 2) and R(1, 0, 1) in R3 .

(a) Find the distance between P and Q.

(b) Find the cosine of the angle between the vectors PQ and PR.

(c) Find the area of the triangle with vertices P , Q and R.

(d) Find a Cartesian equation for the plane that passes through P , Q and R.

Question 5 (10 marks)

In each part of this question, determine whether W is a subspace of the real vector space V . For each part, give a complete proof using the subspace theorem, or a specific counterexample to show that some subspace property fails.

(a)  V = R4 , W = {(a, b, c, d) e R4  | a + b + c + d = 1}.

(b)  V = p3 , W = {p(x) e p3  | p(x) = p(_x) for all x e R}.

(c)  V = M2,2 , W = {A e M2,2  | A2 = A}.

Question 6 (9 marks)

The following two matrices are related by a sequence of elementary row operations:

Let W be the subspace of R4  spanned by the set of vectors

S = {(1, 2, 1, 2), (2, 1, 0, _1), (_1, 4, 3, 8), (0, 3, 2, 5)}.           (a) Find a subset of S that is a basis for W . Hence, find the dimension of W . (b) Write the other vectors in S as a linear combination of your basis vectors.

(c)  Consider the set of vectors

T = {(_1, 4, 3, 8), (0, 3, 2, 5)}.

Is T linearly independent? Is T a basis for W? Explain your answers.

Question 7 (11 marks)

Let T : R3 - R3  be the linear transformation given by

T (x, y, z) = (x + y + 2z, y + 2z, z).

Consider the bases of R3  given by

s = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

and

B = {(1, 0, 0), (1, _1, 0), (2, _1, _1)} .

(a) Find the matrix [T]S  of T with respect to the standard basis s .

(b) Is T (i) injective,  (ii) surjective,  (iii) invertible? Explain your answers. (c) Find the transition matrix PS ,夕 .

(d) Find the transition matrix P夕 ,S .

(e) Find the matrix [T]夕  of T with respect to the basis B .

Question 8 (13 marks)

Consider the function T : M2,2 - M2,2  given by

T (X) = ┌ 1(2)   1(2)┐ X.

(a)  Show that T is a linear transformation.

(b) Find the matrix [T]S  of T with respect to the standard basis

s = {┌0(1)   0(0)┐ , ┌0(0)   0(1)┐ , ┌1(0)   0(0)┐ , ┌0(0)   1(0)┐}

(c) Find a basis for the kernel of T.

(d) Find a basis for the image of T.

(e) Verify the rank-nullity theorem for the linear transformation T.

Question 9 (6 marks)

For each of the following matrices, determine whether it is diagonalisable and give a short justification:

(Hint: Very little calculation should be needed to answer this question.)

Question 10 (13 marks)

In a certain town, the weather each day is either rainy or fine.

· If the weather is rainy one day, then it is rainy the next day 60% of the time. · If the weather is fine one day, then it is fine the next day 80% of the time.

Let rn  be the probability that the weather is rainy after n days, and fn  be the probability that the weather is fine after n days.

(a) Explain briefly why

┐ = A ┌ f(r)n(n)┐ ,

where

A = ┐ .

(b) Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors for A.

(c) Find an invertible matrix P and a diagonal matrix D such that A = PDP一1 .

(d) Assuming that today is fine we have r0  = 0 and f0  = 1. Find formulas for rn  and fn  for n > 1.

(e) What are the long term probabilities of rainy days rn  and fine days fn, as n - o?

Question 11 (10 marks)

Consider R3  with the standard inner product given by the dot product

(u, v) = u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 .

Let W c R3  be the subspace spanned by

{(0, 1, 1), (1, 0, 1)}.

(a) Find an orthonormal basis for W .

(b) For v = (1, 1, 0) e R3, find

(i) the orthogonal projection of v onto W ,

(ii) the distance from v to W .