Q1 (i)  Recall the following definition from the lectures:

Definition.  A  sequence  of real numbers  (an ) tends to infinity if given  any real number A > 0 there  exists N e N such that

an  > A   for all n > N.

Using the definition prove that the sequence (an ) given by

an  =

tends to infinity.

(ii)  Recall the following definition from the lectures:

Definition.  A  sequence  (an )  of real numbers converges to a real number é if given any ∈ > 0 there  exists N e N such that

Ian - éI < ∈   for all   n > N.

A sequence (an ) converges if it converges to é for some real number é . Using the definition prove that the sequence (an ) given by

an  =

converges.

Q2.  Prove (using the definition) that the sequence (an ) tends to infinity in each of the

following cases:

(i) an  = n1/4; (ii) an  =  .

Q3.  For each of the following sequences (an ) and values of é, prove (using the definition) that an  → é:

(i)  an  =  ,       é =  ;

(ii)  an  =  ,        é =  .

Q4.      (i)  Prove that if x, y > 0 then

^x - ^y =    x - y   

(ii)  Using the definition of convergence, prove that the sequence (an ) given by an  = ^n + 1 - ^n

converges to 0.

Q5.  Suppose that é > 0 and that an  → é .  Prove that there exists N e N such that

an  > 0 for all n > N .

ExTRA QUEsT1oNs

EQ1.  Prove that if an  → o and bn  → o then (a) an + bn  → o, and (b) an bn  → o.

EQ2.  Consider the sequence

1 -  1   1  -  1   1

which has nth term an  =  .

(i)  Find a natural number N for which an  e (-  , ) for all n > N .

[Here (-  , ) denotes the interval {x e R : -  < x <  }.]        (ii)  Find a natural number N for which an  e (-  , ) for all n > N .

(iii)  Let ∈ be  any  positive real number.   Find a natural number  N for which an  e (-∈, ∈) for all n > N . What does this prove?

EQ3.  For each of the following sequences (an ) determine whether it converges or tends

to infinity. Use the definitions to prove any claims that you make.

(i)  an  = (2 + (-1)n )n,

(ii)  an  =  ,

(iii)  an  = ,n2 + n - n.

EQ4.  Suppose that N0  e N and that an  2 bn  for all n > N0 . Prove that if bn  → o then

an  → o.

EQ5.  Give explicit examples of sequences (an ) and (bn ), satisfying an  → o and bn  → 0,

for which

(i)  an bn  → 1.

(ii)  an bn  → 0.

(iii)  an bn  → o.

(iv)  an bn  → -o.

(v) the sequence (an bn ) neither converges nor tends to ±o.

(vi)  bn  > 0 for all n e N, and the sequence (an bn ) neither converges nor tends to

±o.

[Here (an bn ) is the sequence whose nth term is the product an bn .]

EQ6.  Give explicit examples of sequences (an ) and (bn ), satisfying an  → o and bn  → o,

for which

(i)  an - bn  → 0,

(ii)  an - bn  → 1,

(iii)  an - bn  → o,

(iv)  an - bn  → -o,

(v) the sequence (an - bn ) neither converges nor tends to ±o.

[Here (an - bn ) is the sequence whose nth term is the difference an - bn .]