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Wages and education once again. To test the effect of education on wages of workers, we specify the model

log(wage) = β0 + β1gender + β2north + β3 educ + u,

where wage is the hourly wage, educ denote the years of formal education, and gender and north are dummy variables (gender equals 1 for females and is zero otherwise, while north equals 1 if the worker is in the North of the country and zero otherwise).

1.  (5 points) What is the interpretation of β3 ?

Answer:

This is a log-linear model. Therefore, the expected change in wage after an extra year of education, keeping gender and north constant, is 100 . β3 %.

2.  (15 points) The error term u contains everything that affects log(wage) that is not gender , north, or educ.  Hence, u includes  (among several other things) experience  (exper).  If an extra year of education implies one year less of experience, what can you say about the likely bias in the OLS estimator of β3 ? Can you obtain a formal expression for the bias? Is the estimator for β3  upward or downward biased?

Answer:

In this case, experience and education are negatively correlated and given that experience is in the error term u, the OLS estimator of β3  will be subject to an omitted variable bias (it will be biased and inconsistent). What about the bias?

The correct model should be

log(wage) = β0 + β1gender + β2north + β3 educ + β4 exper + e.

Assuming that experience is uncorrelated with gender and north, we have that

βˆ3 ≈ β3 + β4 cov(educ, exper)

where βˆ3 is the OLS estimator of β3 from the incorrect model. We expect that β4  > 0 (more experience implies a higher wage), and we know that cov(educ, exper) < 0. Moreover, var(educ) > 0. Therefore,

βˆ3 ≈ β3 + β4   < β3 .

尸                                                -

That is, βˆ3  is likely to be downward biased.

3.  (15 points) Using the model that includes experience

log(wage) = β0 + β1gender + β2north + β3 educ + β4 exper + e, you obtain the following regression results:

Determine which of the coefficient estimates are (individually) significantly different from zero at a 1% level.

Answer:

For the individual t-tests, the correct critical value is 2.57 (it is fine if you use 2.58 or 2.575).  The relevant t-stats and result are:

Constant:  lT l = 2.8 > 2.57 =÷ Reject H0

geηder :  lT l = 2 < 2.57 =÷ Cannot reject H0

ηОr≠在:  lT l = 1.43 < 2.57 =÷ Cannot reject H0

edac:  lT l = 9 > 2.57 =÷ Reject H0

eα夕er :  lT l = 2 < 2.57 =÷ Cannot reject H0

4.  (15 points) Test at a 5% level the null hypothesis H0  : β3 = 0.1 against the alternative H1  : β3  < 0.1, where β3  is the (true) coefficient on edac. Also, test the null hypothesis that all coefficients except the intercept term are zero, again at a 5% level. The F-statistic for this null hypothesis is 14.

Answer:

H0  : β3  = 0.1 versus H1  : β3  < 0.1.  This is a one sided test and we know that we reject H0  if and only if

T < -1.645

The t-statistic is given by

T =  = -1

Thus, T = -1 > -1.645. Therefore, we CANNOT reject H0  at a 5% level.

For the F test, the null hypothesis is H0  : β 1 = β2 = β3 = β4 = 0. The number of restriction is 4 and the critical value is then given by F4(5%) = 2.37.  Given that 14 > 2.37, we reject H0  : β 1  = β2  = β3 = β4 = 0.

5.  (15 points) Based on the regression model

log(wage) = β0 + β1gender + β2north + β3 educ + β4 exper + e,

an economist believes that the effect of an extra year of education on the log wage is equivalent to five times the effect of an extra year of experience plus 10 percentage points. How would you modify the regression to test this hypothesis with a t-test against a two sided alternative?

Answer:

The null hypothesis is H0  : β3  = 5β4 + 0.1, and the alternative hypothesis is H1  : β3    5β4 + 0.1. This is equivalent to testing H0  : β3 - 5β4  = 0.1 vs H1  : β3 - 5β4   0.1.  Let γ = β3 - 5β4 , so that we can rewrite the null and the alternative as H0  : γ = 0.1 and H1  : γ  0.1.

Now let us subtract and add 5β4 educ in the right hand side of the regression equation:

log(wage) =β0 + β1gender + β2north + β3 educ-5夕4 educ + 5夕4 educ + β4 exper + e log(wage) =β0 + β1gender + β2north + (β3 - 5β4 )educ + β4 (5educ + exper) + e.

Substituting γ = β3 - 5β4  and defining Z = 5educ + exper, we get the regression equation log(wage) = β0 + β1gender + β2north + γeduc + β4Z + u.

And we are done. We run a regression of log(wage) on a constant, gender , north, educ, and Z, and do a t-test for the null H0  : γ = 0.1 against the two-sided alternative H1  : γ  0.1.

6.  Suppose you want to test whether the coefficient on educ varies by gender and for workers in the North, whether the coefficient on exper varies for workers in the North, and whether the intercept term is different for females from the North. The null hypothesis is that neither the constant varies for females from the North, nor the coefficient on educ by gender or location, nor the coefficient on exper by location.

(a)  (10 points) Based on the regression model

log(wage) = β0 + β1gender + β2north + β3 educ + β4 exper + e,

list the interaction variables you have to add to that model to do the test described above. Write down the new regression model.

Answer: We have to add the interaction variables: educ * gender , educ * north, exper * north, and gender * north. The new regression model is:

log(wage) =β0 + β1gender + β2north + β3 educ + β4 exper + β5 educ * gender + β6 educ * north + β7 exper * north + β8gender * north + η .

(b)  (5 points) State the null hypothesis, and give the critical value you would use for a 10% test. Also describe the condition under which you reject the null hypothesis.

Answer:

The null hypothesis is H0  : β5 = β6 = β7 = β8 = 0.

Given that this test has 4 restrictions, the critical value for the 10% level F-test has 4 degrees of freedom and is given by 1.94. We will reject H0  if the F-statistic is greater than 1.94.

(c)  (10 points) What is the effect of an extra year of education for:  1) a female from the north, 2) a male from the north, 3) a female that is not from the north, and 4) a male that is not from the north?

Answer:

The effect of an extra year of education is given by

β3 + β5gender + β6north.