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ASSIGNMENT 2

MATH3075 Financial Derivatives (Mainstream)

2022

1.  [10 marks]  CRR model: American call option. Assume the CRR model with T = 2, the stock price S0  = 45, S1(u)  = 49.5, S1(d)  = 40.5 and the interest rate r = -0.05. Consider the American call option with the reward process g(St , t) =  (St  - Kt )+ for t  = 0, 1, 2 where the random strike price satisfies K0   = 40, K1 (ω)  = 35.5 for ω e {ω1 , ω2 }, K1 (ω) = 38.5 for ω e {ω3 , ω4 } and K2  = 36.45.

(a) Find the parameters u and d, compute the stock price at time t = 2 and find the unique martingale measure  .

(b)  Compute the price process Ca for this option using the recursive relationship

Ct(a)  = max {(St - Kt )+ , (1 + r)_1 E ╱ C | 于t、}

with the terminal condition C2(a)  = (S2 - K2 )+ .

(c) Find the rational exercise time τ0(*) for the holder of this option.

(d) Find the issuer’s replicating strategy ϕ for the option up to the rational exer- cise time τ0(*)  and show that the wealth of the replicating strategy matches the price computed in part (b).

(e)  Compute the profit of the issuer at time T if the holder decides to exercise the option at time T.

2.  [10 marks] Black-Scholes model: European claim.  We place ourselves within the setup of the Black-Scholes market model M = (B, S) with a unique martingale measure  .   Consider a European contingent claim X with maturity T and the following payoff

X = max (K, ST ) - LST

where K  =  erT S0  and L  > 0 is an arbitrary constant.  We take for granted the Black-Scholes pricing formulae for the call and put options.

(a)  Sketch the profile of the payoff X as a function of the stock price ST  at time T and show that X admits the following representation

X = K + CT (K) - LST

where CT (K) denotes the payoff at time T of the European call option with strike K.

(b) Find an explicit expression for the arbitrage price πt (X) at time 0 < t < T in terms of Ft   := ert S0 , St  and S0 .  Then compute the price π0 (X) in terms of S0 and use the equality N(x) - N(-x) = 2N(x) - 1 to simplify your result.

(c) Find the limit limT二0 π0 (X).

(d) Find the limit limσ 二＋ π0 (X).

(e) Explain why the price of π0 (X) is positive when L = 1 by analysing the payoff X when L = 1.