1.  Question 1: Law of Large Numbers

In this question we will take a closer look at the law of large numbers (LLN) and investigate situa- tions in which it holds and in which it fails to hold. The law of large numbers states that if Xi  are i.i.d. with E[<Xi<] o o, and common mean u = E[Xi] then

X¯ =   Xi {(p) u.                                                                (1)

One way to interpret the statement is that as n increases, the mean of repeated samples will tend to be closer and closer to u, the true expected value. This means that if we take S different samples of the size n, compute S different means, then the histogram will be close to u. The goal of this exercise is to show that by simulation.

(a) Generate four different samples of sizes n1  = 10, n2  = 100, n3  = 1, 000 and n4  = 10, 000 all from a normal distribution with u = 3 and - = 1.  Compute the four sample means.  Do you get closer to u = 3?

(b) For each sample size n1  = 10, n2  = 100, n3  = 1, 000 and n4  = 10, 000, generate S = 10, 000 different samples all from a normal distribution with u = 3 and - = 1. For each sample size, compute the 10, 000 sample means. For each sample size compute the standard deviation of the sample means. Why is the standard deviation getting close to 0 as the sample size increases?

(c) Plot four densities with the sample means for each of the sample sizes. What do you observe?

(d) Now we look at a counterexample. Instead of drawing samples from a normal distribution, we are going to draw samples from Student’s t-distribution with 1 degree of freedom.  It is well known that in this case the mean is undefined. Not surprisingly, the law of large numbers does not apply.  To see this, repeat (a), (b), and (c) this time using Student’s t-distribution with 1 degree of freedom.

2.  Question 2: Estimating m

It is well known1 that m = 3.14... equals

=

Circumference

Diameter

(2)

It is also related to the area of a circle which equals mR2, where R is the radius of the circle. If you only have access to a random number generator, how would you provide an estimate of m?

3.  Question 3: Estimating the area below a curve

Suppose that y = sin(x) + 3cos(3x) +4 and you want to know the area below the curve between o and 2. That is, you want to compute

A = 。02 (sin(x) + 3cos(3x) + 4)dx.                                                   (3)

We know from calculus that A → 9.14. How would you estimate A using a random number genera- tor? Optional: how would you informally provide a 95% confidence interval for A?

4.  Question 4: Exercise 4.4 in Introductory Econometrics

Are rent rates influenced by the student population in a college town?   Let rent be the average monthly rent paid on rental units in a college town in the United States.  Let pop denote the total city population, avginc the average city income, and pctstu the student population as a percent of the total population. One model to test for a relationship is

log(rent) = p0 + p1 x log(pop) + p2 x log(avginc) + p3 x pctstu + U                     (4)

(a) State the null hypothesis that size of the student body relative to the population has no ceteris

paribus effect on monthly rents. State the alternative that there is an effect. (b) What signs do you expect for p1 and p2 ?

(c) Using the dataset2  rental, estimate equation (4) for the year 199o.  What is wrong with the statement: “A 1o% increase in population is associated with about a 6.6% increase in rent”?

(d) Test the hypothesis stated in part (a) at the 1% level.

5.  Question 5: Reverse regression

Suppose your data is generated according to the following model:

Yi = 9Xi+ Ui,                                                                   (5)

where Xi  ~ N(0, 1), Ui  ~ N(0, 1), and Xi  and Ui  are independent.  As we saw in class, the OLS

we study the reverse regression:

Xi = y0 + y1Yi+ Vi,                                                              (6) We will focus on the OLS estimator of y1 .

(a) According the model in (5), what is the value of y1? Hint: solve for y1 .

(b) Fix the sample size in n = 500 and generate S = 100 different samples of }Xi, Yi|i(1)1(0) according to (5). Obtain 1oo values of 1 and plot the histogram or density. What is the average value of 1 across samples?