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MTH3251— Assignment 3. Solutions

Semester 2, 2022

In what follows (Bt), t > 0 denotes the Brownian motion process started at zero. The terms “option”, “claim” and “contract” mean the same, and are inter-changeable. Each question is worth 20 points.

1. Let the stock price over two time periods be modelled by S0 = 1, S1 = ξ 1 , S2 = S1ξ2 , where ξ1 , ξ2 are identically distributed random variables taking two values d and u with P (ξ1 = ξ2 ) < 1. The savings account pays β > 1 over one period. The parameters of the model satisfy d < β < u.  You need to price an option that pays X = (S2 - S1)+  at time t = 2.

(a)  Describe the Equivalent Martingale measure Q in this model.         (b)  Give the price of the contract C0  at time t = 0 by using the EMM.

(c)  Derive the replicating self-financing portfolio for this contract at t = 1, 2.

(d)  Suppose that the market price of the contract P0 is less than the arbitrage- free price C0 , P0  < C0 .  Show how to make a risk-free profit by providing a trading strategy.

2. Let the stock price be modelled as St  = e2Bt , and savings account as βt  = et , for 0 < t < 1. Consider the contract with payoff at time t = 1, X = (S1 - S0)2 .

(a)  Give the Equivalent Martingale Measure (EMM) in this model by using

Girsanov Theorem. Give the equations for processes Bt  and St  under the

EMM.

(b)  By quoting an appropriate result, decide whether this model admits or

does not admit arbitrage.

(c) Find the formula for Ct, the price of this contract at time t.

(d)  Give the self-financing replicating portfolio for this contract (at, bt), and show that it is self-financing.

3. Let the price process St  be a martingale and savings account βt  = 1.  Let the claim at time t = 1 be X = S1 -  01 Sudu.

(a) Find the price of this claim at time t < 1.

Hint: You may interchange the integral and conditional expectation.

(b)  Give  the  replicating  portfolio  for  this  claim,  and  show  that  it  is  self-

financing. Describe the trading strategy in words.