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MTH3251

HOMEWORK  9

Consider the two-step Binomial model, which is specified by the following. The price of one share of stock st at time u is given by s0 = 1, s1 = ∈ 1 s0 , s2 = ∈2 s1 with random variables ∈ 1 , ∈2  taking two values d and ., and having the distribution P (∈1  = d, ∈2  = d) = 1/4, P (∈1  = d, ∈2  = .) = 1/8, P (∈1  = ., ∈2  = d) = 1/8, P (∈1  = ., ∈2  = .) = 1/2.  The savings account is specified by 8t = 8t , u = 0, 1, 2. These parameters satisfy d < 8 < ..

(a)   Give the marginal distributions of ∈1 and ∈2  (P (∈t = d), P (∈t = .), u = 1, 2) and state

whether they are independent under the original (real world) probability measure P.

(b)  Show that the discounted stock price process st/8t , u = 0, 1, 2, is not a martingale

under P.

(c)   Describe the EMM in this model, and give the derivative Λ = do/dP .

(Λ(w)  =   ,  where w runs over  all possibilities  (d, d), (d, .), (.d), (., .).) Show that the discounted stock price process st/8t , u = 0, 1, 2, is a martingale under

.

(d)  Consider the following strategy: start with portfolio at time u = 0, a1  = 1, b1  = − 1. (Borrow $1 to buy 1 share), and at time u = 1 take a2  = 1, b2  = − 1 (do nothing, no rebalancing).  Show that this is a self-financing portfolio (see eqn (8) p.  63 Notes). Show that the value process is given by V0  = 0, V1  = s1 − 8 , V2  = s2 − 82 .  Which contract x does this portfolio replicate? Is this strategy an arbitrage strategy?

(e)   Start with portfolio at time u = 0, a1  = 1, b1  = − 1.  (Borrow $1 to buy 1 share). At

time u = 1 let a2 = a2 (s1 ) = 0 if s1 = . and a2 = a2 (s1 ) = 2 if s1 = d, in other words a2  = I(∈1  = .) + 2I(∈1  = d).  Find b2  = b2 (s1 ), so that the self-financing condition holds.  Give the value of the portfolio at times u = 1 and u = 2.  Which contract x does this portfolio replicate?