1   Extensive form with perfect information

When there is perfect information, backwards induction can be applied to find a solu- tion for the game. Consider the following example of a game in which two firms could operate in a market. One of them is the incumbent, while the other firm has the option to enter or not in the market:

Entrant

 Incumbent

Accommodate   Tough          Accommodate                  Tough

(1, 2)

(0, −3)

( −3, 1)

( −2, − 1)

Because the entrant firm can observe if the incumbent is playing tough or accom- modating, there are eight possible strategies for the incumbent.  The strategies are listed as triples, where the second entry represents the action taken when the entrant Accommodates, while the third entry is the action taken in case the incumbent plays tough. The following matrix represents this game:

Entrant

Out, A, A Out, A, T Out, T, A Out, T, T In, A, A In, A, T In, T, A In, T, T

Incumbent

A             T

We use the help of the matrix to find all Nash equilibria:

Entrant

Out, A, A Out, A, T Out, T, A Out, T, T In, A, A In, A, T In, T, A In, T, T

Incumbent

A             T

And we conclude that ((Out,A,A),T), ((Out,A,T),T), ((Out,,T,A),T), ((Out,T,T),T), ((In,A,A),A) and ((In,A,T),A) are all Nash equilibria.  If, however, we use back-     wards induction, only ((In,A,T),A)) would be selected (see the tree below). This is     the most credible Nash equilibrium of this game.

Entrant

 Incumbent

Accommodate

(1, 2)

( −2, 1)

2   Extensive form with simultaneous play

It is possible that players move sequentially at some stage of a game and then simul- taneously afterwards. Assume now that firms have to decide simultaneously whether to play tough or Accommodate. Then the game is represented by the following game tree:

Entrant

  0

Accommodate                             Tough

Tough          Accommodate

(1, 2)                    (0, −3)        ( −3, 1)                 ( −2, − 1)

After the entrant decides to enter in the market, the incumbent can accommodate or play tough.

There are three Nash equilibria in this game. To see this, just note that we could rep- resent the game by using the following matrix of payoffs:

Incumbent

T             A

With the help of asterisks placed on each firm’s best responses:

Incumbent

T               A

we see that the profiles  ((Out,A),T),  ((Out,T),T) and (((In,A),A) are all Nash equilibria.  However, not all of these outcomes seem reasonable, as some of them require conjectures about other players’ strategies that are hardly credible.  This is the case of the outcome ((Out,A),T). If we look at the incumbent’s payoff, once the entrant is already in the market and decides to accommodate, playing tough is not a best response, since its payoff is smaller than when accommodating. The Nash equi- librium ((Out,A),T) is based on the assumption that the entrant makes a conjecture that the incumbent would play tough if it was the case that the two firms are operating in this market.

3   Subgame perfect equilibrium

3.1    Extensive form when there is imperfect information

It is not always the case that in a sequential game players can observe all other play- ers’ actions. For instance, it may be that at some stage of the game players take ac- tions simultaneously. In this case the backward induction procedure must be adapted to consider the sections of the game in which information is not perfect. The concept of subgame perfect equilibrium is a refinement of the concept of Nash equilibrium that is applied to sequential games with imperfect information. Before defining the equilib- rium concept itself, we need to understand what a subgame is.

3.2   Subgame

In a sequential game there are parts of the game tree that by themselves can define an “independent” game.  In order to identify these sections of the game tree, we first need to identify each player’s information sets.

Definition 1  In a game tree we say that a set Ai  is an information set for player i when it contains all nodes in the tree that player i cannot distinguish.

We label some nodes in the following game tree to illustrate the concept of information set.

Entrant

  0

( −6, −6)                 ( − 1, 1)        (1, − 1)                 ( −3, −3)

After the entrant decides to enter in the market and make a large investment, the information set of the incumbent is {3, 4} because the incumbent cannot say whether a small or large investment was realized by the entrant.  Similarly, the incumbent’s information set at node 3 (after the entrant decides to enter in the market and make a small investment) is also {3, 4}. If the game was different (with perfect information), and represented by the following game tree:

Entrant

2

 Entrant

Large

Small

( −3, −3)

then the information set of the Incumbent would be {4} if the entrant realized a large investment, and {3} in case of a small investment. Now we can define a subgame as a part of the game tree that itself constitutes a well-defined game tree.  Formally, a subgame is a section of the game tree that starts at a single decision node, contains every successor of its initial node and all the nodes that are part of the same informa- tion set.

In the following game:

1

E

  1

(6, 3)           (1, 4)           (1, 2)           (3, 2)     (2, 3)           (1, 4)           (2, 3)           (3, 2)

we can identify the following subgames besides the whole game itself.

1.  Subgame 1:

2

(6, 3)                     (1, 4)           (1, 2)                     (3, 2)

2.  Subgame 2:

2

E

  1                                               1

(2, 3)                     (1, 4)           (2, 3)                     (3, 2)

3.  Subgame 3:

1

(2, 3)

(1, 4)

4.  Subgame 4:

1

(2, 3)

(3, 2)

Remarks:

1. A game is always a subgame of itself.

2.  In games of perfect information, every node other than a terminal node defines a subgame.