3    Sparse matrices.                                                                       [7 marks]

MATLAB has support for sparse  matrices.  Banded matrices are an important class of sparse matrices.  Here you explore the sparse matrix facilities by concentrating on the tridiagonal matrix from Moler Exercise 2.19 but with n arbitrary instead of 100. Let’s call it A. It has a diagonal full of 2s and a sub- and superdiagonal full of -1s.

Form the matrix A in 2 ways:

a.  using 3 calls to diag to form A1

b.  using spdiags instead, to form A2

For each of these forms, use tic,toc to benchmark, for n = 200 : 200 : 2000 the time to solve Ax = b for some b using \. I suggest you time a loop of, say, 100 solves in order to get sensible results. If you have a fast machine, you may need to increase n.

Also try the tridiagonal solver tridisolve from the Asst2 folder to solve the same problem.  It will be slower because it’s an M-file, not a built-in function.

How does the time taken by each of these 3 solvers scale with n?  On the basis of Q2, what do you think Matlab’s \ is doing? By using whos, describe another benefit of using sparse.

4    Norm equivalence                                                                     [6 marks] Prove the following inequalities, for arbitrary m, n. Here x is an m-vector and A is an m × n matrix.

||x||2      ≤   ||x||1

||x||1 ≤ ^m||x||2

||A||2 ≤ ^n||A||1

||A||1 ≤ ^m||A||2

In the first two cases, give an example of a vector x where equality holds.

5    Conditioning                                                                              [4 marks]

Let X be the n × n matrix defined by

[I,J] = ndgrid(1:n);

X = min(I,J) + 2*eye(n,n) - 2;

Which, if any, of the triangular factorizations chol(X), lu(X), and qr(X) reveal the poor conditioning of X when n = 20? Explain, using results from the lectures.

6    Are all fits equally good?                                                       [9 marks]

Examine the M-file polyfit.m (edit polyfit) and understand what lines 59–67 do.

Do Moler Exercise 5.7 but use the the values tk  = (k − 1)/5, yk  = erf(tk ), k = 1 : 11.

Hint:  You may want to write your own M-file to help generate the least squares fits for parts b and c using polyfit/polyval as a template (although it’s not necessary to do so).

7    Nonlinear transformations to get linear fits                       [7 marks]

The standard equation describing simple enzyme kinetics is

0  =

where v0  is the initial reaction rate, Vm  is the maximum reaction rate, s is the substrate concentration, and Km  is the Michaelis constant. In a typical experiment, v0  is measured as s is varied and then Vm  and Km  are determined from the resulting data.

To avoid a nonlinear fit, a number of researchers have re-arranged Equation (1) into a linear model in new variables. Here are two examples: