1.  (50 points) Wendy is about to retire and has amassed savings of $976; 000 to fund her consumption over the remaining three periods of her life.1  Any money that she does not spend on consumption in period 0 can be put in the bank where it will earn interest at the rate of 25% per period. Similarly, any money she does not spend on consumption in period 1 can be put in the bank where it will also earn interest at the rate of 25% per period.

(a)  (5  points)  Explain why her intertemporal budget set  B  can be described as

follows:

B = {(c0 ; c1 ; c2 ) ) (0; 0; 0) : c0 +  x c1 + ╱ 、2  x c2  k 976; 000 }

Initially suppose that Wendyís choices over consumption streams are governed by an exponential discounted utility family of preference relations, characterized by an  ìin- stantaneousîutility function u (c) = ln(c) and a discount factor 6 = 0:8.

(b)  (15 points) Utilizing the fact that her marginal utility of consumption mu (c) =

1=c, show that in period 0 her optimal consumption plan is

(c0(*); c 1(*); c2(*)) = (400000; 400000; 400000) .

(c)  (5 points) Explain qualitatively how this optimal plan would change if the inter- est rate was greater than 0:25. Explain qualitatively how this optimal plan would change if the interest rate was less than 0:25.

(d)  (5 points) If she chooses c0(*)  = 400000, explain what her intertemporal budget set B1 ((c0(*); c 1(*); c2(*))) will be in period 1. Show that the consumption plan (c1(*); c2(*)) is the optimal consumption plan for her to choose in period 1 from this budget set. Explain what property of her choice behavior this reáects.

Now suppose that Wendy is a naive hyperbolic discounted utility maximizer character- ized by an ìinstantaneousîutility function u (x) = ln(x), a long-term discount factor 6 = 0:8, and a short-term discount factor 8 = 0:5.

(e)  (20 points) Show that her optimal consumption plan (c0(*); c 1(*); c2(*)) from the per-

spective of her period 0 self is equal to (567442; 283721; 283721).  Furthermore, given she consumes c0(*)  = 567442 in period 0 (and hence saves 976000 - 567442 = 408558) show that the amounts 1 and 2 that she will actually choose to consume in periods 1 and 2, are 364784 and 182392, respectively.

2.   (25 points) It is the morning and Harold has just arrived at the o¢ ce.  Before starting work he contemplates what activity he plans to do this evening after he returns from the o¢ ce and before he goes out to dinner. He may choose to work out in his local gym, to read a (literary prize-winning) novel, or to watch (trashy) TV.

In the morning when he is full of vigor and good intentions, he prefers to work-out in the gym to reading his novel which in turn he prefers to watching TV. But in the evening after having spent a hard day at the o¢ ce, slumping in front of the TV is more tempting than reading the novel which in turn is more tempting than the work-out in the gym.

To avoid such temptations, he may try to restrict the options available to him in the evening. For example, he might solicit a ride from a colleague at work who is also going to the gym, or he might tell his room mate to hide the TV remote. In lieu of taking any preventive measures such as these, he may exercise or he may read the book, but only by incurring the self-control cost required to resist the temptation to watch trashy TV.

To model, Haroldís situation let us employ Gul and Pesendorferís (2001) framework of costly self-control preferences which are deÖned over  menus  of alternatives.  That is, Örst let us take X := { gym, book, TV } to be the  ìuniverseîof possible evening activities for Harold.   His preference relation 5 is deÖned over the seven non-empty subsets of X :

{gym ; book ; TV} ; {gym ; book} ; {gym ; TV} ; {book ; TV} ; {gym} ; {book} ; {TV} :

Let u : X ↓ R and v : X ↓ R denote respectively, Haroldís commitment utility and his temptation utility associated with each alternative in X .  Their values are given in the following table:

Alt.

gym book

TV

utility

u (x)    v (x)

(a)  (10 points) Rank the seven menus from most to least preferred and for each of

the seven menus identify which alternative Harold will choose.

(b)  (5 points) Show that his choices from the menus satisfy choice coherence.

Haroldís twin Colin also has preferences deÖned over menus.  However, unlike his brother Harold, although he is willing (and able) to exert self control to resist selecting the more tempting option in a choice between working out in the gym and reading the novel and in a choice between reading the novel and watching TV, he Önds himself unable to resist temptation when choosing between working out in the gym and watching TV. That is, when the temptation ìdistanceîbetween a pair of alternatives is too great, he lacks the willpower to resist the tempting option.

Colinís preferences over menus of alternatives are represented by the following func-

tion:

╱            ╱                         、、

s.t.  maxv (y) - v (x) 冬 7

y ∈M

where u(x) and v(x) take on the same values as they did for Harold and the inequality represents the limit of Colinís willpower to resist temptation.

(c)  (10 points) Which of the two menus {gym ; book} and {gym ; book ; TV} does Colin prefer? Show that his choices from these two menus violate choice coherence.

3.  (25 points) The 3-part series How To Live  Younger that was screened last year on ABC TV presents scientiÖc evidence showing that regular exercise throughout life can rewind the clock on cognitive decline, Öght cancer, prevent disease, beat depression and even enhance our lives by making us smarter and more creative human beings.

However, even when an individual acknowledges these beneÖts, we still observe them choosing not to engage in regular exercise during their working life. To model such an individualís choice about exercising during adulthood, suppose the individual (letís call her Sarah) lives for four periods. We can think of the four periods as corresponding to the time when Sarah is a child (in period 0), a young adult (in period 1), a middle-aged adult (in period 2) and a retiree (in period 3).

The choice whether or not to exercise in period 0 is made by Sarahís parents on her behalf but she will make the choice on her own behalf in periods 1 and 2.

Let e0  4 {0 ; 1} (that is, e0  is either 0 or 1) denote the choice Sarahís parents made in period 0 (when she was a child) on her behalf.

Sarah chooses e1  4 {0; 1} in period 1 and e2  4 {0; 1} in period 2. She has no choice regarding exercise in period 3.

Sarahís unbiased preferences over her exercise choices (e1 ; e2 ) are represented by the

sum of the period utilities:

u1 + u2 + u3

where for t = 1; 2, ut = u(et; et一1 ) and u3 = e0 (e1 + e2 ) + (3:1) e1 e2 .

u (0; 0)    u (0; 1)    u (1; 0)    u (1; 1)

1             5            -1            2

Sarah, however, su§ers from projection bias and in period 1 she perceives that u2 , her utility from exercise in period 2 will equal u(e2 ; e0 ).

For parts (a), (b) and (c) suppose e0  = 0, that is, she didnít exercise during her child- hood.

(a)  (5 points) What will be her choice of exercise in period 1 and what choice does

she plan to make in period 2.

(b)  (1 points)  What will be her actual choice in period 2.

(c)  (4  points)   Show according to her  unbiased  preferences, choosing to exercise in both periods 1 and 2 is optimal.  How does that compare to the results you obtained in parts (a) and (b)? Explain the intuition behind why there are or are not the same.