Consider a two period (t = 0, 1) exchange economy with one good (income) and uncertainty at date 1 described by S states of nature.  With a slight abuse of notation we will sometimes let S denote both the number of states and the set of states at date 1. The characteristics of agent i are given by an initial endowment ω i = (ω0(i), ω 1(i) , . . . , ωS(i)) = (ω0(i), ω1(i)) e R| and a VNM utility function

S

ui(xi) = v0(i)(x0(i)) +      ρsvi(xs(i))                                                (1)

s=1

where ρs  > 0 denotes the probability of state s and where vi′ > 0, vi′′ < 0 for each agent i = 1, . . . , I . The function vi  is often called the Bernouilli function associated with the VNM utility function ui .  Roughly speaking, the degree of concavity of vi  measures the degree of risk aversion of agent i. The simplest local measure of curvature which is invariant to a positive linear transformation is

given by

Ai(ξ) =  ,    ξ > 0

which is called the absolute risk aversion of agent i (associated with vi). The standard assumption is that Ai′(ξ) < 0, so that absolute risk aversion decreases with income. An important case is where Ai(ξ) = , ηi  > 0, in which case it is convenient to introduce the local measure of relative  risk

aversion

Ri(ξ) =  ,    ξ > 0

so that Ai(ξ) =  兮 Ri(ξ) = ηi  and we say that agent i has constant relative risk aversion. This is a simple and natural way for an agent’s aversion to risk to vary with income.

We begin with a problem which helps you to understand why the above measure of absolute risk aversion is a natural local measure of aversion to risk.

1. Consider the expected utility function

U(x) =      ρsv(xs)

s∈S

where v(.) denotes the Bernouilli function.  Write the random variable x as x =  + ξ, where  denotes the mean and ξ the deviation from its mean. Thus

x =  + ξ,    E(ξ) = 0   var(ξ) = var(x) = σξ(2)

Let k北  denote the risk premium associated with the random stream x defined by v( _ k北 ) = E(v(x))

(a)  Give a careful geometric interpretation of the risk premium k北  when S = 2 illustrating the two distinct geometric ways suggested in class.

(b)  Show that when σξ(2)  is small we obtain the approximate expression

k北 = _ σξ(2)

for the agent’s risk premium associated with x.

(c) Interpret the  (approximate) expression for k北  in  (b) and explain what factors increase or decrease what the agent is prepared to pay to get rid of risk.

2. Suppose now that the agent starts with the random income stream x and considers acquiring in addition the random stream y . Define the risk premium ky,北  of the income stream y given x by

ρsv(xs + y¯ _ ky,北 ) =      ρsv(xs + ys))

s∈S                                             s∈S

(a)  Give a geometric interpretation of the risk premium ky,北  in the (x1 , x2 ) space when S = 2.

(b) Under what conditions can we write

ky,北 = _  (σy(2) + 2σ北,y )

(c) Interpret this approximate expression comparing it with the one in 4(b).

We now turn our attention to the problem of optimal risk sharing.  Let w =     i(I)=1 ω i  e R| denote the aggregate income in the economy and recall that the set of feasible  allocations is given

by

于w = ,x = (x1 , . . . , xI ) e R|  +1 │ i   1 xi = w }

Let x = (x0 , x1 ) = (x0(1), x 1(1) , . . . , x0(I), x1(I)) e 于w  :  if the date 1 allocation x1  = (x1(1) , . . . , x1(I)) is Pareto optimal then we say x1  is an optimal allocation of risk bearing (OARB). Our objective is to study the structure of the set of OARB of an economy ε(R|S+1 , u, ω) when agents have VNM utility functions (1).

3.  The Bernouilli functions vi  which have constant relative risk aversion are of the form vi(ξ) =  ξ 1−ηi , ηi  > 0, ηi  1, where ηi  is the coefficient of relative risk aversion. Consider an economy with two states at date 1 (S = 2) with probabilities ρ 1 and ρ2 , with two agents a and b who agree on the probabilities of the states, and have VNM utility functions with constant relative risk aversion Bernouilli functions vi, i=a,b with ηa  = 4 and ηb  = 2.  Suppose the aggregate output is such that w1  > w2 , i.e. there is aggregate risk at date 1.

(i) Find the equation defining the set of OARB.

(ii) In R|2 draw the Edgeworth box with origin for agent a at 0 e R|2  and the origin for agent b at w1  e R|2 . Draw the two lines of sure  consumption streams for agents a and b, and the set of OARB. Show that the set of OARB lies between the two lines of sure consumption streams for the two agents, and deduce that, in every OARB, each agent consumes more in state 1

than in state 2. Interpret this result.

(iii)  Suppose now that ηa = ηb . Find the set of OARB.

(iv)  Compare the set of OARB in (ii) where ηa  > ηb  with the set of OARB in (iii) where ηa = ηb , and explain the difference between the way the aggregate risk (income) is allocated in the two cases: which agent bears more of the risk and why?

4.  In this question we generalize the property of OARB’s found in (ii) of the previous question. Let w, y e R|S  denote two random variables. w and y are said to be comonotone if ws _ wσ  > 0 =÷ ys _ yσ  > 0, for all s, σ e S . Prove the following:

(i) If x1  = (x1(1) , . . . , x1(I)) is an OARB of an economy ε(R|S+1 , u, ω) in which each ui  is VNM (i.e. satisfies (??)), then x1(i)  and w1  are comonotone for i = 1, . . . , I .

(Hint:  Use the first-order conditions and the fact that if ws  > wσ, then at least one agent must consume as much in state s as in state σ .)

(ii) Interpret the result in (i).

(iii)  Show that in an OARB if each agent is strictly risk averse (Ai(ξ) > 0, Aξ > 0) and if there is aggregate risk (var(w1 ) > 0), then var(x1(i)) > 0, i = 1, . . . , I .