1.  (Put-call parity) A stock currently costs S0  per share. In each time period, the value of the stock will either increase or decrease by u and d respectively, and the risk-free interest rate is r . Let Sn be the price of the stock at t = n, for 0 < n < N, and consider three derivatives which expire at t = N, a call option VN(call)  = (SN  _ K)+ , a put option VN(put)  = (K _ SN )+ , and a forward contract FN  = SN  _ K .

(a) The forward price is the strike price such that the price of the forward

contract is F0  = 0. Show that if N = 1 (one-period binomial model), and K = (1 + r)S0 , then F0  = 0.

(b)  Show that if N = 1 (one-period binomial model), and K = (1 + r)S0 , then V0(call)  = V0(put) .

(c) Explain why in the general N-period model, for any strike price K , VN(call)  = FN + VN(put) . That is, if you buy at t = 0 a forward contract and a put option, and hold them until expiration, the payoff you receive is the same as the payoff of a call option.  What can you say about the prices of these three options at t = 0?   (Hint:  Do not use the risk-neutral pricing formula!)

2. Let S0  and S1  be the prices of a stock at t = 0, 1 in the one-period binomial model. Assume the no-arbitrage condition 0 < d < 1 + r < u, and assume

P(H) = p. We define θ = up + d(1 _ p) _ 1. Show that the expected value at t = 0 of  is

E0  , ┐ = S0 .

3. Let g, h be two real-valued convex functions on R. Let m(x) = max(h(x), g(x)}. Prove that m(x) is also convex.

4. Let (Ω , P) be a finite probability space.  Recall that if A S Ω is an event, then the probability of A is

P(A) =       P(ω).

u…A

Let Ac  be the compliment of A. Show that

a) P(Ac ) = 1 _ P(A)

b) If A1 , A2 , . . . , AN  are a set of events, then prove

P ╱Ak ← < k P(Ak ).

5. Assume S0  = 4, u = 2, d = 1/2, r = 1/4.  Fill in the following Binomial tree using the risk neutral probabilities.

S2 [HH]  =               

2 [S3 |HH]  =               

S1 [H]  =               

1[S3|H]  =        

S0     =

0 [S3]  =               

2 [S3 |TH]  =               

S1 [T]  =               

1 [S3 |T]  =               

S2 [TT]  =               

2 [S3 |TT]  =               

S3 [HHH]  =               

S3 [HHT]  =               

S3 [HTH]  =               

S3 [HTT]  =               

S3 [THH]  =               

S3 [THT]  =               

S3 [TTH]  =               

S3 [TTT]  =               

6.  One of the assumption we have made is that the risk-free interest rate is constant.  In this problem, we will relax that assumption!   Consider the following two period binomial model with a random interest rate rn .  In this model, we define the risk-neutral pricing formula by

1                                                                             1 + rn _ d

(1 + rn )                                                                           u _ d    .

(Can you explain this formula?) Let V2  = (S2 _ 7)+ .

a) Fill in the following binomial tree.

S2 [HH]   =   16

V2 [HH]  =               

S1 [H]  =  8, r1 (H)  =  

V1 [H]  =               

S2 [HT]   =   4    V2 [HT]  =               

S2 [TH]   =   4

V2 [TH]  =               

S1 [T]  =  2, r1 (T)  =  

V1 [T]  =               

S2 [TT]   =   1    V2 [TT]  =