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MATn 1270, HoMEwoRK 4

(1)   (a) Show that any separable ODE, of the form M(北) + N(n)n\  = 0, is also exact. (b) For the first-order linear ODE n\ + d(北) n = b(北), written in the form

(d(北)n / b(北)) + n\  = 0

(ie. in the form M(北( n) + N(北( n)n\  = 0), describe an integrating factor d(北) in terms of d and b, with the property that multiplying by d yields an exact equation; ie. such that (dM)y  = (dN)北 .

(c) For the ODE M(北( n) + N(北( n)n\  = 0, show that if

N北 / My

depends only on n, then multiplying by the integrating factor d(n) = ?。Q(y) dy yields an exact equation; ie. show that for this d,

e                e

en              e北

(2) Find the general solution of each of the following first-order ODE in implicit form, either because the equation is exact or by finding an integrating factor.

(a) (3北2n + 2北n + n ) + (3北2 + n )n2\  = 0

(b) (3北2 / 2北n + 2) + (6n  /2 北2 + 3)n\  = 0

(c) (北/n / sin n)n\   = /1

(3) For fixed 9, D 想 0, find the general solution to

n\  = 9n / Dn3 (

(a) first by treating the equation as separable and using partial fractions; and

(b) second, by using Leibniz’s substitution (as in class) to change this into a first-order linear equation in a new dependent variable Q .

(c) Show that the two general solutions are identical.

(4) Solve the initial value problem below, for n(4), by making the substitution Q = n\ . n\n\\  = 2(    n(0) = 1(    n\ (0) = /2

(5) Find the general solution of the ODE below, by making the substitution Q = n\  and treating n as the independent variable.

n\\ + (n\ )2  = 2?一y

[You can solve the equation resulting from the substitution either as exact with an integrating factor or as a Bernoulli equation.]

(6) A body is fired straight up with its velocity equal to the escape velocity ^26H. Find:   (a) The velocity of the body as a function of its distance 义 from the center of the earth. (b) How large 义 must be before the velocity is Q0 /100.