(1) For real numbers t1  and y1 , if φ(t) is a solution to the initial value problem y\  = f(t, y),    y(t0 ) = y0

then the function φ 1 (t) defined by φ 1 (t) = φ(t - t1 + t0 ) + y1 - y0  solves the IVP

(*)                                    y\  = f(t - t1 + t0 , y - y1 + y0 ),    y(t1 ) = y1

We call the two IVPs equivalent because of the direct relationship between their solutions. (a) Solve the initial value problem y\  = 2ty , y(2) = 1, producing a function φ(t).          (b) Now transform φ to a function φ 1  satisfying φ 1 (0) = 0 as above.

(c) Transform the IVP from part (a) to the equivalent one (in the sense of (*) above) “with initial point at the origin” – ie. with initial condition y(0) = 0 – then solve it explicitly.  [Your solution should be identical to φ 1  from part (b).]

(2) Transform each initial value problem below into an equivalent one with initial point at the origin.  [You are not asked to solve these!]

(a) y\  = 1 - y3 ,    y(1) = 2

(b) y\  = t2 + y2 ,    y(-1) = 3

(3) The Mean Value Theorem (MVT) states that if a function F (t) is differentiable on an interval (a, b), then for any a < t0  < t1  < b there is a real number s between t0  and t1  such that

F (t1 ) - F (t0 ) = F\ (s)(t1 - t0 )

(a) Use the MVT to show that if F (t) is differentiable and F\ (t) s 0 for each t e (a, b), then F is nonincreasing : for any t0 , t1  such that a < t0  < t1  < b, F (t0 ) > F (t1 ).

(b) Use the MVT to show that for any fixed t0  e (a, b) and y0  e R, a continuous function f(t) on (a, b) has a unique antiderivative F (t) such that F (t0 ) = y0 .  (As discussed in class, by the Fundamental Theorem of Calculus there is at least one.)

(c) Use the MVT to show that for a two-variable function f(t, y) on a rectangle R = {(t, y) | a0   s t  s  a1 ,  b0   s  y  s  b1 } in the  (t, y)-plane, if ∂f/∂y is defined and continuous on R then for any fixed s e (a0 , a1 ) and b0  < y0  < y1  < b1 ,

|f(s, y1 ) - f(s, y0 )| s K|y1 - y0 |,

where K is the maximum of │ (t, y)│ over all (t, y) in R.  [Since s is fixed, you can

apply the MVT to the one-variable function defined by g(y) = f(s, y).]

(4) This problem addresses sustainable harvesting (eg. of a fish population).  We assume that in the absence of human interference, the population y would be governed by the logistic growth equation,

 = r ╱ 1 - 、y,

where r  >  0 is the intrinsic growth rate and K  >  0 is the environmental carrying capacity. We also assume that the harvest rate (eg. the rate at which fish are caught) is proportional to the total population, ie. of the form Ey, where E is a constant measuring the effort expended in harvesting. The logistic equation is thus modified to: