The  four-week   Preparatory   Course   in   Mathematics   and   Statistics   is   a   compulsory component  of  the   M.Phil.   programmes   in  the   Faculty  of   Economics.  The  aim  of  the Preparatory Course  is to ensure that all students  understand the  mathematical, sta-tistical and econometric techniques which are used throughout the core and optional modules. We require that  all  students  admitted to the  Masters  programmes  have  a firm grasp  of  basic calculus,  linear  algebra,  and  statistics.  The   Preparatory  Course  therefore  takes  such  a background as given and both revises and builds upon these topics.

There  are  four  sections  to  the  preparatory  course:  Linear  Algebra,  Probability  and Statistics, Optimisation and Difference/Differential Equations. Some details of the con-tent of these,  including  prerequisites  and  readings,  are given  below together with  some  example questions. You should be able to do some of these questions before you arrive and all of them by the end of the course.

Depending on your individual  background some of the elements may be more, or less, familiar. So it is vital that you assess your own knowledge and work hard to ensure that you have solid foundations for all this material. Without this you will find the subsequent content of your MPhil course very challenging.

Teaching for the preparatory course is intense.  We expect you to refresh your knowledge and skills in mathematics and statistics before you arrive in Cambridge.  In particular, you should ensure that you have revised the prerequisite material we include in these notes.  You should work on all the exercises below in order to check mastery of this material.

Further examples of problems relating to the material that will be covered in the prepara- tory course can be found on the Faculty’s web site, at

http : //www.econ.cam.ac.uk/graduate/mphil/prep.html

1    Linear Algebra

1.1    Prerequisites

The course is mostly self-contained but some basic knowledge of linear algebra is as- sumed.  The primary textbook for this section of the preparatory course is Abadir and Magnus [1]. An alternative discussion of much of this material may be found in Appendix A of Greene [4]. Note that although this is an econometrics textbook such books often contain useful material on linear algebra because of the importance of these methods in econometrics.

A good introductory discussion may be found in Chapter 1 of Binmore and Davies [2] while some more advanced topics, useful for courses throughout the year, are dealt with in the first section of Ostaszewski [7].

1.2    Topics covered in the course

Matrices and vectors, solutions to simultaneous linear equations, square matrices, de- terminants, eigenvalues, eigenvectors diagonalisation positive and negative definite ma- trices.

1.3    Some practice problems

Exercise 1  Find the determinant of the following matrix

l 3      2     6 」

「             .

Exercise 2  Solve the following system of equations using  Cramer’s rule:

7x1  − x2  − x3     =   0

10x1  − 2x2 + x3     =   8

6x1 + 3x2  − 2x3     =   7

Exercise 3  Consider the following model of a closed economy with Y gross income, C consumption, I investment, G government expenditure,  and a, b parameters .

Y     =    C + I +  G

C     =    a +  bY.

For fixed I  and G, solve for equilibrium income and consumption using  Cramer’s Rule .

Exercise 4  Find the eigenvalues and eigenvectors of the following 2 × 2 matrix

[ 5   1 ]

2    Probability and Statistics

2.1    Prerequisites

The course assumes students are familiar with the basic concepts of probability and random variables but revises this material from a more mathematical perspective. The material is covered at a very basic level in Ross [9] and in greater detail in Miller and Miller [6].  For more advanced discussion see Chapters 1-9 of Casella and Berger [3] or Chapters 1-6 of Wasserman [11].

2.2    Topics covered in the course

The course covers the basic probability  and statistical material that is used in the econometrics course but can also appear in both macroeconomics and microeconomics, or wherever issues of dealing with uncertainty arise.

The main elements that will be covered are:

(i)  Probability theory and random variables.

(ii)  Distribution functions. Expectations and moments.

(iii)  Joint, conditional and marginal distributions.

(iv)  Sampling theory and sampling distributions.

(v)  Method of moments, least squares and maximum likelihood estimation. (vi)  Point estimation, bias and mean squared error. Confidence intervals.

(vii)  Statistical inference and hypothesis testing. Type I and Type II errors.

2.3    Some practice problems

Exercise 5  Two fair coins,  a 10p  and a 50p,  are tossed.  Find the probabilities of:

1.  Both showing heads

2.  Different faces showing up

3.  At least one head

4.   You  are  told  that  the  10p  shows  heads .    What  is  the  probability  that  both  show heads?

5.   You are told that at least one of the two coins shows heads .  What is the probability that both show heads?

6.   What is the probability of two sixes when two fair dice are rolled?

7.   What is the probability of at least one six when two fair dice are rolled?

Exercise 6  A random variable X  has the distribution function

( x2

F (x) =     0

( 1

for

for

for

0 ≤ x ≤ 1

x < 0

x > 1.

Define the probability density of X,  and find its mean and standard deviation.

Exercise 7  The following  data show the  times  of flow through  an  orifice  of two  types of sand.  Is there sufficient evidence that one type flows faster than the other?

Type 1 27.2  26.8  27.4   27.1   26.5

Type 2

29.6

30.0

28.4

30.2

Exercise 8  There  are  30 people  in  a  room.   What is  the probability  that two  or more have their birthday on the same day of the year?

Exercise 9  The following data are obtained on prices and quantities of oranges sold in a supermarket on 12 consecutive days .

Price:

pence per kilo (X)

100

90

80

70

70

70

70

65

60

60

55

50

Quantity: kilos (Y)

55

70

90

100

90

105

80

110

125

115

130

130

It is postulated that the demand function for oranges is of the form

Yi  = α + βXi + ϵi,   i = 1, 2, ..., 12                                       (1)

Write  down  the  least squares  objective function  and hence  obtain  the  least squares

estimates of α and β  i. e .   =   and  = Y − X .

Exercise 10  Random variables X1  and X2  are drawn independently from a distribution with probability density function f(x) and cumulative distribution function F (x) .

(a)  Calculate P (X1  ≤ x, X2  ≤ x) in  terms  of F (x) and hence  show  that  the  density

function of max(X1, X2 ) is 2f(x)F (x)

Now suppose that f (x) is the uniform distribution U [0, 1] i. e .

f(x) = 1   0 ≤ x ≤ 1

(b)  Calculate F (X) and hence write down the probability density function of the ran-

dom variable Y = max {X1, X2 }.

(c)  Show that E (Y ) =   and Var (Y ) =  .

3    Calculus and Optimisation

3.1    Prerequisites

All students on the M.Phil.   programme are expected to have a firm grasp of basic calculus before they arrive in Cambridge. We recommend the following books to review this prerequisite material before you arrive in Cambridge:

• Sydsaeter, K., and P. Hammond, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall. Chapters 1— 10, 14—20.

• Pemberton, M., and N. Rau, Mathematics for Economists, Manchester University Press. Chapters 1— 14.

See also the lecture notes at http : //www.econ.cam.ac.uk/graduate/mphil/prep.html.

Those who are aiming to continue on to a PhD programme should ideally aim to master this material at a higher level as covered in the Mathematical Appendix (pp. 926–970) of

• Mas-Colell, A., M. Whinston and J. Green, Microeconomic  Theory, Oxford Uni- versity Press.

List of prerequisite topics

The specific topics which students will be expected to understand as prerequisites for the Calculus and Optimisation component of the course (which are covered in Sydsaeter and Hammond’s chapters 1— 10, 14—20, and Pemberton and Rau’s chapters 1— 14) are briefly listed below:

1.  Basic concepts of logic (including the concept of a proof; necessary and sufficient conditions)

2.  Set notation and basic properties of sets

3.  Standard secondary school algebra (including manipulation of inequalities, solving quadratic equations, systems of linear equations)

4. Functions and related notation, terminology, and definitions (such as one-to-one, onto, image, inverse image, inverse function, composition of functions, etc.)

5. Functions from R to R, basic properties (such as increasing, decreasing, etc.)

6.  Polynomials, basic polynomial algebra, roots, etc.

7.  The  exponential  and  the  logarithm  functions  (and  other  exponents  and  loga- rithms), basic properties

8.  Sequences of real numbers, limits, series

9.  Open and closed sets in R, compact sets

10.  Single-variable calculus: limits, continuity, concept of derivative, rules of differen- tiation, the chain rule, L’hˆopital’s rule, differentials, integration (including various techniques such as change of variables, integration by parts, etc.), geometric in- terpretation of differentiation and integration, fundamental theorem of calculus, concavity, convexity.

11. Unconstrained and constrained optimisation of functions from R to R, identifica- tion and classification of stationary and extreme values with the use of first order and second order conditions.

12.  Taylor series and Taylor approximations for functions from R to R.

13. Rn  for n ≥ 2, the notion of distance in Rn, bounded, open, closed, compact sets in Rn

14.  Calculus of several variables (i.e., functions from Rn  to R), partial differentiation, continuous differentiability and Young’s Theorem; the chain rule and the total derivative; differentials. The envelope theorem.

15.  Constrained optimisation of functions of several variables subject to equality con- straints: Lagrange’s method; the interpretation of the Lagrange multiplier.

16.  Second-order condition when optimising functions from R2 to R. Convexity/concavity of such functions.

3.2    Topics covered in the course

We will briefly review the above mentioned topics and illustrate these concepts in a range of applied problems. In addition to these topics, we will introduce and illustrate uses of quasi-concavity and quasi-convexity;  optimisation with inequality constraints and Kuhn-Tucker conditions; the implicit function theorem; and the envelope theorem for constrained optimisation problems.

3.3    Some Practice Problems

1. Write the following in set notation:

(a) the set of all real numbers greater than 8 and less than 73,

(b) the set of all points on the coordinate plane whose distance from  (2 , 5) is

greater than 1 and less than or equal to 2.

2.  Given the sets S1  = {2, 4, 6}, S2  = {7, 2, 6}, S3  = {4, 2, 6} and S4  = {2, 4}, which of the following statements are true? (a) S1  = S2  (b) S1  = R (c) 5 ∈ S2  (d) 3  S2 (e) 4  S4  (f) S4  ⊂ R (g) S1  ⊃ S4  (h) ∅ ⊂ S2  (i) S3  ⊃ {1, 2}.

3. Which one of the following is the graph of a function (from real numbers to real numbers) drawn on a coordinate plane? (a) A circle (b) A triangle (c) A rectangle.

4. If the domain of the function f (x) = 5 + 3x − 2x2  is the set {x : 1 ≤ x ≤ 4}, find the range of the function, and express it as a set.

5. For each of the following expressions,  (i) identify the largest subset D  of R so that f is indeed a function from D to R; (ii) identify all vertical and horizontal asymptotes of its graph;  (iii) identify where the graph intersects the horizontal and the vertical axes; (iv) identify and classify its stationary points; (v) determine its curvature; (vi) sketch its graph.

(a)  f (x) = x ln(x + 1)

(b)  f (x) = 3(x2  − 2x − 3)/x2

(c)  f (x) = x exp(−x) + lnx

(For this one, it is enough to mark the approximate point of intersection with the horizontal axis.)

6. Find the Taylor series expansion for

f (x) = x4 + x2 + 5

centred on x = 1.

7. Let g(x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1)

(a)  Determine the values of x  for which g(x)  >  0,  and also those for which

g(x) < 0.

(b)  Expand g(x) expressing it in terms of x3  and x2  etc.

(c)  Find the second order partial differentials of the function

f (x, y) = λx5  − λx4 + λx3  − 3λx2 + 117x + y2 + 2456

(d)  Using the results of (a) and (b) (or otherwise) determine values of x, α and λ for which the function f (x, y) given in (c) is convex.

8. Find ∂y/∂x1  and ∂y/∂x2 , where

y    =   x1(2)e2x1  + 3x2 /(1 + x2 ) − 5x1(4) ln x2(2)

9. Find the total differential dy given (a) y = x1 /(x1 + x2 ) (b) y = 2x1 x2 /(x1 + x2 ).

10. Find the local (or relative) maxima and minima of y in each of the following cases: (a) y = x  + 6x  + 7 (b) y32  = x  /3 −3x  + 5x + 3 (c)32 y = 2x/(1 −2x) where x  1/2.

11.  Consider the following two functions

2x − 5x2

2 + x3

and

5x2  − 2x

2 + x3

What is the relationship between the maxima and minima of these two functions? What general principle does this example illustrate?

12. Find the extreme value(s) of each of the following functions, and determine whether they are maxima or minima:

(a) y = x1(2) + x1 x2 + 2x2(2) + 3

(b) y = −x1(2) + x1 x2  − x2(2) + 2x1 + x2

(c) y = x1(2) + 3x2(2)  − 3x1 x2 + 4x2 x3 + 6x3(2) .

13.  Consider the function z = (x − 2)4 + (y − 3)4 .

(a) For which values of x and y does z take its minimum value?

(b) Is the first-order necessary condition for a minimum satisfied at that point?

(c) Is the second-order sufficient condition for a minimum satisfied at that point?

(d) Is the second-order necessary condition for a minimum satisfied at that point?

(e)  Use the method of Lagrange multipliers to find the values of x1  and x2  that

satisfy the first-order necessary conditions for a maximum or minimum of: (a) x1 x2  subject to x1 + 2x2  = 2; (b) x1 − 3x2 − x1 x2  subject to x1 + x2  = 6.

(f)  By considering small changes in the values of x1   and x2   that continue to

satisfy the constraint, determine whether these values give local maxima or minima.

(g) Find whether a slight relaxation of the constraint in the above problems will

increase or decrease the optimised value of the objective function, and at what rate.

14. Evaluate the following integrals:

(a)  ∫ 2x2 e  2x dx

(b)  ∫ dx

(c)  ∫ (2ax + b)(ax2 + bx)7 dx

(d)   dx

(e)  (ax2 + bx + c)dx.

(f)   (  + ) dx

(g)  (x − 1)(5 − x) dx

4    Difference and Differential Equations

4.1    Prerequisites

This is an introductory course on differential equations and assumes very little prior knowledge apart from a good grounding in basic calculus.

4.2    Topics covered in the course

The idea of a differential equations - description and phase diagrams.  1st order con- stant coefficient differential equations, particular and complementary solutions. Linear approximations.  Stability.  2nd order case.  Transversality conditions.  Difference equa- tions.