1    Solow Model

Lecture Notes

Econ 620

Instructor name: Riham Barbar, Ph.D.

1.1    Why do we study Solow Model?

- Question: Is it possible for an economy to enjoy positive economic growth rate forever (Long-run) by simply saving and investing in its capital stock.

- Absolute & Conditional convergence - Are poor economies able to catch-up with rich economies in the long-run?

1.2    Framework

1.  Solow assumes that Labor is a second factor of production.   Labor is NOT constant.   Labor grows over time  (due to population growth and changes in the labor-force participation rates) at a constant rate, denoted by n > 0.

2.  Production Function: Y = F (K; AL)

3.  A is the labor productivity. It is assumed to be constant.

4.  K is the AGGREGATE physical capital stock

1.2.1    Properties of Production Function Neoclassical production function

1.  Constant Returns to Scale:

7Y = F (7K; 7L) where 7 > 0

2Y = F (2K; 2L)

Example: Harrod-Domar production function: Y = AK

A (2K) = 2 (AK) = 2Y

2.  Diminishing Returns to the use of inputs:  Marginal Product of an input decreases with the amount of that input

MPK  decreases when K increases (keeping Labor constant) MPL  decreases when L increases  (keeping Capital constant)

Harrd-Domar Production Function: Y = AK doesnít exhibit diminishing returns because it is LINEAR in capital.

Remark: Harrod-Domar production function is NOT a neoclassical produc- tion.

1.2.2    Per-Capita Variables

Per-capita = per worker

Y = F (K; L)

Y = F (K; L)

By Constant Returns to Scale property:

 = F ╱ K; L、

 = F ╱  ; 1、

y =  is the output per worker

k =  is the capital per worker

y = F (k; 1)

y = f (k)

1.2.3    Example:  Cobb-Douglas Production Function Y = Ka (AL)1 一a

where 0 < α < 1 constant:  It measures the Elasticity of total output Y with respect to Capital: Itís the capital share in the production:

It measures the percentage change in GDP that results from a 1% change in capital stock

Let A = 1

Per-capita Cobb-Douglas Function:

Y = ╱ 、a  ╱ 、1 一a

 = ╱ 、a

y = ka ,  where 0 < α < 1

The total output per worker increases with the amount of per-capita capital (at a decreasing rate):

Example: Let α = 1=3 then y = k 1/3

Cobb-Douglas Production Function

1.3    Dynamic of Capital

Ak = kt＋1  - kt

Ak = Savings -Depreciation of Capital-Capital required to equip a new worker

.  Saving: S = sy = sf (k), where s is the saving rate.

For an economy as a whole, saving = investment: S = I

Investment increases the capital accumulation in the Economy

.  Capital depreciates because of the amount of capital that wears out and so the economy will not be able to use it again. Let the depreciation rate be 6 e (0; 1). The amount of depreciated capital is 6k .

.  Capital that the economy needs to equip new workers joining the labor force: nk .

The growth of the capital per capita is thus given by

Ak = sf (k)   - 6k - nk

or equivalently,

Ak = sf (k)   - (6 + n) k

1.4    The steady state

The objective now is to study the growth rate in Long run.

Consider the following Figure:

Based on the Figure above:

● If Investment > depreciation of capital (sf (k) > (6 + n) k) then Ak > 0 (capital per worker k increases) and so the economy is growing over time.

● If Investment < depreciation of capital (sf (k) < (6 + n) k) then Ak < 0 (capital per worker k decreases) and so the economy is shrinking over time.

Therefore, the economy moves (converges) toward an intersection point at which

Investment = depreciation of capital

As a result, there exists a STABLE steady state value of capital per worker (denote it by k* ) at which output per worker and capital per worker are no longer changing:

Ak = 0 at k = k*

That is,

sf (k* )   = (6 + n) k*

This steady state is unique and stable because for any initial value of k, the economy converges toward k*  > 0.

Conclusion:

In the neoclassical model, the per capita capital and per capita output do not gorw in the long-run (at the steady state).  The main reason that implies this conclusion is the diminishing returns to capital.

Back to Harrod-Domar model

This conclusion doesnít hold in the Harrod-Domar model because its pro- duction function doesnít exhibit diminishing returns to capital. It is explained in the following Figure:

1.4.1    Scenario - increase in savings

Suppose that the saving rate rises permanently from s to a higher value s\ .      Obviously, the saving curve shifts upward and so the intersection point moves

to the right. This implies that the new steady state value of capital per capita is k\*  (which is higher that the initial steady state capital per capita k* ).  The Figure below shows how the economy adjusts from k*  to k\* :

Conclusion:

An increase in the saving rate generates temporarily positive growth rate. In the long run, the level of steady state capital per capita is permanently higher, but the growth rate returns to zero.

The reason is that the diminishing returns to capital brings the economy back to zero-growth steady state.

This answers our Örst question about LR growth rate.  The answer is NO. A neoclassical economy cannot grow forever at a positive rate by simply saving and investing physical capital.

1.5    Absolute and Conditional Convergence

- You can refer to Economic Growth by Robert Barro and Xavier Sala-i- Martin. Absolute convergence implies that poor economies tend to grow faster per

capita than rich ones - without conditioning on any other characteristics of economies.

First, the following Figure shows a positive correlation between initial capital and growth rate for 114 heterogeneous countries; initially richer countries tend to grow faster in per capita than poorer countries.   We thus conclude that absolute convergence doesnít hold for heterogeneous economies:

Second, by examining a more homogeneous group of economies, then ab- solute convergence holds: