1.  Let z be a complex number which satisfies the following equation: z3 + i2 − 3z − 4 = i.

(a)  (2 points)  Show that z can not be a real number.

1 − 4i        

(b)  (4 points)  Find the modulus of

(c)  (4 points)  Find the imaginary part of −3 + iz2 + 3 + i.

2.  (5 points)  For this question, let Arg(z) denote the argument of z lying in [−π,π). For any z  0 lying on the circle |z − 1| = 1, show that Arg(z − 1) = 2Arg(z), and provide a geometric interpretation.

Hint: show that cos(Arg(z − 1)) = cos(2Arg(z)) by applying a double angle formula.

3.  Let p be a positive real number and let Γ be the locus of points satisfying |z − p| = cx where z = x + iy , and c ∈ R is a constant.

(a)  (4 points)  Show that Γ is an ellipse (not necessarily centered at the origin) if 0 < c < 1 (b)  (4 points)  Show that Γ is a horizontal parabola if c = 1

(c)  (2 points)  Show that Γ is a hyperbola if c > 1

4.  Let A be the strip  {z  ∈ C  :  0  < Re(z),  0  ≤ Im(z)  < 2π} and f  :  C  → C be the map given by f(z) = i + e−z .

(a)  (3 points)  Find the image f(∂A), where ∂A is the boundary of A in C.

(b)  (3 points)  Show that for every z ∈ A, we have |f(z) − i| < 1.

(c)  (4 points)  Suppose D is the punctured disk {z ∈ C : 0 < |z − i| < 1}.  Show that for every w ∈ D there exits z ∈ A such that f(z) = w and conclude the image f(A) is D .

5.  Determine whether the following series converge or diverge. Justify your answer. (a)  (5 points)  对 

(b)  (5 points)  对  where z ∈ C/Z