1. Different lines of investigation have concluded that the heat loss from the core is as low as a few TerraWatts to as much as 15 TW. The mean heat flux at the Earth’s surface (excluding crustal contributions) can be obtained by dividing the estimated total heat loss from the mantle (about 37 TW) by the surface area.  What would be the total heat loss from the core if the heat flux at the CMB is fifty percent of the heat flux from the mantle? What would be the total heat production in the mantle per unit volume in this case?  Use estimates of

the mean Earth radius and core radius to two significant figures when you make your calculations and assume that the Earth and core are perfect spheres.  (/6)

2. Now let’s develop a formal equation for the energy balance in the cooling core. The change in energy is determined by the heat flow across the boundary of the sphere and the energy generated (or consumed) internally.  (By the way, here is a hint:  energy flow across a surface area per unit time gives an energy flux. The units are therefore J/s/m2 or W/m2 .) Assume that there are no radioactive sources in the core and that the specific heat throughout the core is 800 J/K.kg. We’ll also use a mean density of 12.5×103  kg/m3  for the entire core.

Write a term that gives the change in energy of the core per unit time, assuming constant values for the specific heat and density. This must equal an expression for the heat (energy) flow across the spherical surface. Ignore internal consump- tion or generation of energy.  Specifically, it is the gradual growth of the inner core that consumes/generates energy due to the associated change in the phase of the iron-nickel mixture from a liquid to a solid.  Look this up in a credible source.  Does inner core growth generate or consume energy?  Give a reference and explain how you arrive at your conclusion.  (/4)

3. In the last question we derived a simple differential equation for the cooling of a sphere of constant density and heat capacity. Now we shall solve this for the temperature of the core as a function of time, assuming a mean heat flux loss from the core that decays exponentially with time-squared. That is, assume the mean flux at the core-mantle boundary is q = q0 exp(-0.1(t/Gyr)2 ), where q0  is the heat flux across the CMB (in units of W/m2 ) at 4.5 Gyr in the past and the factor 0.1/(Gyr)2  determines the rate of heat loss.  (Note this last assumption replaced needing to know the thermal conductivity of the core.)

This exercise is of course a gross simplification but it is an instructive step in terms of how we can construct a thermal evolution model of the Earth. Assuming the core temperature is uniform throughout its volume at all times, make a plot of its thermal evolution over the past 4.5 Gyr. You should calculate a time series of the temperature by evaluating the cooling of the core at intervals of 1 Myr. Assume that the heat flux at the core-mantle-boundary is 60 mW/m2 today, and that the initial temperature of the core is the melting point of the deep mantle (about 5400K). Submit a graph of the temperature of the core as a function of time.  (/20)