In this assignment we will consider the polarization of a uniform plane wave.

Introduction

Consider an arbitrary EM wave propagating in the +z-direction. Its phasor representation is E (z ) = Ex (z ) + Ey (z ) ,

where the phasor components in the x- and y-directions are, respectively

Ex (z ) = Ex0e-jkz   and Ey (z ) = Ey 0e-jkz .

The complex amplitudes of these components may be given in terms of magnitude and phase as Ex0  = ax ejx(6)    and Ey 0  = ay ej6y   .

The corresponding instantaneous field is

For convenience, we define the relative polarization by6 =y(6)  -x(6) , with 6 < 0 indicating right

hand polarization, and 6 > 0 indicating left hand polarization.

The Polarization Ellipse

Consider Figure 1 below. The electric field vector will trace out an ellipse whose ellipticity and tilt (and whose handedness – that is, the direction the electric field vector spins) depends on the values of ax ,  ay    and  6 . Let us carefully describe the ellipse with respect to two coordinate systems: the conventional Cartesian coordinate system aligned horizontally and vertically (the x-y coordinate system, or lab system), and the Cartesian coordinate system aligned with the major and minor axes of the ellipse (the ξ-η coordinate system, also known as the principle axis coordinate system). The latter is rotated by an angle γ with respect to the former. This angle γ is known as the rotation angle and it is bounded within the range -"2 共 y 共"2 .

Figure 1 Polarization ellipse in the x-y plane with the wave

traveling in the z direction (out of the page).

The length of the polarization ellipse is given by  2a毛  and the width by  2an . The shape of the ellipse and its handedness are characterized by the ellipticity angle X , which is defined as

an            1

a毛           R

where the plus sign corresponds to left-handed polarization (LHP) and the minus sign to right- handed polarization (RHP); X is bounded within the range -爪4 共 X 共 爪4 (0 for linear and X =土爪4  for circular). The quantity  R = an a毛   is called the axial ratio of the polarization

ellipse; R is bounded within the range  1 共 R < w  (1 for circular polarization, and  w for linear polarization).

With respect to the x-y coordinate system, the polarization ellipse is bounded by the rectangle whose dimensions are 2ax   by 2ay   (dashed red rectangle in Figure 1). This permits one to define what the textbook calls an auxiliary angle  v0   as

where v0    is bounded within the range  0 共v0  共 爪2  (0  for x-polarized linear and  爪2  for y-polarized linear; values in between are elliptically polarized at various rotation angles).

The polarization angles Y and X are related to the wave parameters ax , ay   and 6 by

where we require  > 0  if cos6> 0  and  < 0  if cos6< 0 ; note that  X > 0  if sin6> 0  (and vice-versa) denotes LHP while X < 0  if sin6< 0 (and vice-versa) denotes RHP.

Figure 2 Polarization states for various combinations of the polarization angles (, X) for a wave traveling out of the page.

The assignment

Figure 2 shows the polarization states for various combinations of the polarization angles (, X) . These may be generated with the Module 7.3 java app, which may be found at the textbook author’swebsite. Click on the Module 7.3 link on this webpage to open the applet directly.

Figure 3 Screenshots of the Module 7.3 java app instruction and operation windows.

For all 25 combinations of (, X) given in Figure 2, tabulate the corresponding values ofax , ay and 6 that generate them. Also explicitly state whether the wave is right or left polarized. Use the equations given above to find their values. Confirm that these values are correct by using    them as the inputs in the app. Keep “Phase X” set to zero, and use 6 for “Phase Y” .