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EECS 281: Data Structures and Algorithms

Fall 2022

Lab 3: Complexity Analysis, Amortization, and Strings

1 Logistics

1. What is the due date of lab 2 quiz and AG?

A.  9/19/2022

B.  9/20/2022

C.  9/23/2022

D.  9/25/2022

2. What is the due date of lab 3 written (Gradescope)?

A.  9/20/2022

B.  9/25/2022

C.  9/23/2022

D.  9/14/2022

3. What is the due date of lab 3 quiz and AG?

A.  9/21/2022

B.  9/14/2022

C.  9/23/2022

D.  9/30/2022

4. What is the due date of Project 1?

A.  9/15/2022

B.  9/20/2022

C.  9/19/2022

D.  9/27/2022 2 Recurrence Relations and Complexity Analysis

5. What is the best approach for deducing the following relation, given T (1) = 1? T (n) = 8T (   ) + 3n

A.  The Substitution Method

B.  The Master Theorem

6. What is the best approach for deducing the following relation, given T (1) = 1?

T (n) = 2T (n - 1) + 2

A.  The Substitution Method

B.  The Master Theorem

7.  Given the function below, calculate the recurrence relation.  Assume bar(n) runs in Θ(n) time. A. T (n) = T ( ) + n3 log n + T ( )

B. T (n) = T ( ) + n3 log n + nT ( )

C. T (n) = T ( ) + n4 + nT ( )

D. T (n) = T ( ) + n4 log n + nT ( )

8. Which ordering lists Θ(n100 ), Θ(100n ), Θ(n!), Θ(log(n!)) in order of increasing complexity? Hint: Θ(log(n!)) can be simpliﬁed to a complexity class that you’ve likely seen before. Think about any mathematical identities that may help you perform this simpliﬁcation.

A.  Θ(n100 ), Θ(100n ), Θ(log(n!)), Θ(n!)

B. Θ(100n ), Θ(n100 ), Θ(log(n!)), Θ(n!)

C.  Θ(log(n!)), Θ(n100 ), Θ(n!), Θ(100n )

D. Θ(log(n!)), Θ(n100 ), Θ(100n ), Θ(n!)

E.  Θ(log(n!)), Θ(100n ), Θ(n100 ), Θ(n!)

9.  Solve the following recurrence relation: A.  281n + 370

B.  281n + 651

C.  370n + 281

D.  370n - 89

E.  370n - 459

10.  Consider the following recurrence relation: What is the tightest complexity class that you can attribute to this recurrence relation?

A. T (n) = Θ(^n)

B. T (n) = O(^n)

C. T (n) = Ω(log2 n)

D. T (n) = Θ(n log2 n)

E. T (n) = Θ(n2 )

11. What is the worst-case complexity of this function?

void   foo ( vector   & v )  {

int  n  =   static _ cast ( v . size ());

int   rt  =   static _ cast ( floor ( sqrt ( n )));

for   ( int   i  =   0;   i   < rt ; ++ i ) {

for   ( int   j  =   0;   j   < rt * rt ; j += rt ) {

cout   << v [ j + i ] << " " ;

}

cout   << endl ;

}

}

A. Θ(^n)

B. Θ(n)

C. Θ(n^n)

D. n log n

E. n2

12. What is the worst-case time complexity of this function?

void   potato ( int  n )  {

for   ( int   i  =   1;   i   < n ; i *= 2) {

for   ( int   j  =   1;   j   < n ; ++ j ) {

for   ( int  k  =   1;  k   < j ; ++ k ) {

cout   << " I !m a smart potato ! o (^ - ^) o \ n " ; }

A.  Θ(n2 )

B. Θ(n2 log n)

C. Θ(n log2 n)

D.  Θ(n2 log2 n)

E.  Θ(n3 ) 3 Vectors and Strings

13. What is the worst time complexity of the push back operation discussed in slides, given a vector of size n?

A. Θ(1)

B. Θ(log n)

C. Θ(n)

D.  Θ(n2 )

14. What is the amortized time complexity of the push back operation discussed in slides, given a vector of size n?

A. Θ(1)

B. Θ(log n)

C. Θ(n)

D.  Θ(n2 )

15.  Consider the following snippet of code:

char   str1 []  =   " BING " ;

cout   << strlen ( str1 );

cout   << sizeof ( str1 );

string   str2 ( " BING " );

cout   << str2 . length ();

cout   << str2 . size ();

What is the output?

A. 4444

B. 4455

C. 4544

D.  5544

E. None of the above is correct.

16.  Consider the following snippet of code:

const   char   * s  =   " hello " ;

char   ss ;

int   length   =   strlen ( s );

for   ( int   i  =   0;   i   < length ; ++ i )

ss [ i ]  =   s [ length   -   i ];

printf ( " %s " ,   ss );

What is the output?

A. hello

B. olleh

C. olle

D. segmentation fault

E. no output is printed 4 Handwritten Problem

This problem is to be submitted independently.  We recommend trying it on your own, checking your answer with your group and discussing solutions, and then submitting it to Gradescope.   These will be graded on completion,  not by correctness.   However, we want to see that you were thinking about the problem. Please implement your solution in anagram .h. The starter les can be found on Canvas.

17. Write a function that takes in two strings and returns whether they are anagrams of each other (words that contain the same letters). The only characters will be spaces and lowercase letters. Do this in Θ(n) time.

● Example 1: Given s1 = ”anagram” and s2 = ”nagaram”, return true.

● Example 2: Given s1 = ”i love eecs” and s2 = ”i scole ve e”, return true.

● Example 3: Given s1 = ”anagrams” and s2 = ”anagrams anagrams”, return false.

● Example 4: Given s1 = ”cats” and s2 = ”cat”, return false.

//   check   if   two   strings   are   anagrams

bool   isAnagram ( const   string   & s1 ,   const   string   & s2 ); 5 Coding Assignment

You can work on these problems by yourself or with your group, but a solution must be submitted to the autograder for each individual.

18. String Library Implementation

The following specs contains every detail about the problem - if you want a quick TL;DR summary, see appendix  A.

In lab and lecture, you learned about C++ strings and the C++ string library. The string class provides many helpful member functions that simplify the usage of string objects (such as ﬁnd, insert, erase, just to name a few!). While you do not have to fully understand how a string object works under the hood, knowing these string operations will be helpful for future projects and interviews.  In this lab assignment, you will implement ve of these operations within a String class that we have provided for you.  You will be given three submissions to the autograder per day (but we will give you the autograder’s test cases; this will be covered later).

Download the starter les from either Canvas or GitLab (https://gitlab.umich.edu/eecs281/lab- 3-string-library). Please complete the assignment in the String .cpp le. Do not include any libraries beyond the ones given to you or modify anything outside the parts labeled with TODO. Doing so may cause your program to fail on the AG. To clone the     directory on to your local machine, go to your terminal and type the command git  clone https://gitlab.umich.edu/eecs281/lab-3-string-library.git.

You will be implementing a portion of this String class so that its behavior emulates that of a standard C++ string. Before you begin, there are a few things you should know. Please read the following items carefully:

●  On lines 162 and 163 of the original String .h le, you will see two member variables: cstr and sz. cstr is a c-string member variable that stores the underlying contents of the String object. Recall that c-strings are arrays of characters that are terminated by a null-character, or sentinel (’/0’). The variable sz stores the size of the String object, not including the null-terminating character. Make sure that both variables are updated correctly after each operation.

●  The null-terminating character (’/0’) is deﬁned as the member variable a null byte (on line 29 of the StringVerifier .cpp le).   You may compare a character with a null byte or assign a character to a null byte.   Remember that this character must be found at the end of the c-string representing the contents of the String object, as it denotes the end of the c-string.

●  Strings have a constant value called npos that represents the largest possible value for an element of type size t (or 18,446,744,073,709,551,615). This is deﬁned on line 28 of the StringVerifier .cpp le. This constant is often returned by nd operations if the target is not found in the string.

● You won’t have to worry about illegal operations (e.g.  indexing out of bounds, etc.) or growing the c-string array if an operation causes its contents to exceed its capacity, although it is important to note that such situations can exist and must be accounted for.

● For String operations that require returning a reference to a  String, you should return *this in the function implementation. this is a pointer to the current String, so *this dereferences the pointer and returns a reference to the current String.

You may notice that the starter le we gave you supports many string operations. For this lab assignment, you will only be responsible for ve of these functions.

erase

●  insert

● replace

●  find first of

●  find last of

Other than the information presented above, you may skip over everything that doesn’t have TODO attached to it. However, feel free to look over these other functions if you are curious!  It is recommended that you review the Arrays and Containers” lecture before starting this assignment. Go to the rst TODO in the starter le (search the document for “TODO #1,” which should be located on line 186 of the String .cpp le if the original le was not modiﬁed).

TODO #1: Erase Function

The erase() function is deﬁned as follows:

String &   String :: erase ( size _ t   pos ,   size _ t   len   =  npos );

This function can be used to remove a range of characters within a String. When erase() is called using two parameters, pos and len, this function erases the portion of the String that begins at index pos and spans len characters, or until the end of the String, whichever comes ﬁrst.  If len is not deﬁned, it defaults to a value of npos, and the String is erased from pos to the end. A reference to the modiﬁed String is then returned. For example:

String   str   =   " darden " ;

str . erase (3 ,   2);

erasing would begin at index 3 of str, and 2 characters would get erased. In this case, the second d’ (the character at index 3) and the following e’ would be erased, and the contents of str after the call to erase would be darn” . You may assume that the starting position pos will always be valid, and len will be greater than 0. A valid pos can take on any value in the inclusive range 0 < pos < sz.

Make sure that the nal c-string you end up with has a sentinel at the end.  This can be done by assigning a character in the c-string with a null byte, a member variable that has a value of ’/0’:

cstr [ last _ index ]  =   a _null _byte ;

where last index is the index one past the last character of the modiﬁed String.

One thing to note is that the underlying c-string that is used to store the contents of the String is an array of characters, which stores elements contiguously in memory.  Thus, once you erase a portion of the array, all the elements after the point of erasure must be

shifted over so that all the characters can remain contiguous in memory. To accomplish this, you may use the following algorithm:

1. First, declare an index that references the index of the rst character to be erased. This can be done by accessing the element at position pos of the c-string cstr.

2. Next, declare an index that references the index of the rst character NOT to be erased. This can be done by accessing the element at position pos + len of the c-string cstr.

3. After declaring both indices, overwrite each character at the rst index with the char- acter at the second index, then increment both pointers, until removal is complete. Removal is complete when the second index reaches the end of the string. Make sure the last index of the nal modiﬁed string is set to the sentinel character, a null byte (or ’/0’).

4. Adjust the value of sz so that it reﬂects the new size of the modiﬁed String.

This process is shown visually on the next page. Note that the following gure uses the word “pointer” instead of index” to represent positions in the c-string array. However, this does not mean that you must use pointers to implement the erase operation. It is more than possible to use indices to keep track of the two positions needed to perform the erase. In other words, instead of keeping track of a pointer to the address of cstr, for example, you could just keep track of the element’s integer index, or 2.

The erase function, visualized: In the above diagram, after erase is complete, the contents of the c-string are d’,’a’,’r’,’n’,’/0’,’n’,’/0’ . Are we done here, or do we have to remove the last ’n’ and sentinel character at the end?  Think about what the purpose of the sentinel character is in a c-string.  Do the data elements after this character matter?  No, it does not! This is because the sentinel tells the program that it has reached the end of the string, so all characters after this sentinel character are ignored.

An alternative solution for those who want a challenge: erase can also be implemented using the copy-swap method.  This would require initiating a String object with the updated contents  (after the necessary characters are removed) and swapping it with the current String (using the String swap function we deﬁned for you on line 80). To use the copy-swap method to erase characters from a string, you will need to use the String substr function, which is implemented for you on line  165.   Note that this copy-swap implementation is completely optional, and the algorithm listed on the previous page is suﬃcient for getting full credit on the erase function.

TODO #2: Insert Function

Next, we will look at the insert() function, which can be used to insert characters into a String. The insert() function is deﬁned as follows:

String &   String :: insert ( size _ t   pos ,   const   String &   str );

When  insert() is called using two parameters, pos and  str, this function inserts the contents of  str BEFORE the character at position pos.   A reference to the modiﬁed String is returned. For example:

String   str   =   " shelf " ;

str . insert (0 ,   " book " );

the string book” would be added before position 0 of str, resulting in a nal str value of ”bookshelf” . You may assume that the starting position pos will always be valid.

Since insertion may cause the underlying c-string to exceed its capacity, a check needs to be done to ensure that there is enough memory allocated to hold the new String once everything has been inserted.  This check has been provided for you; you do not need to worry about it, but do know that it exists.

How would you begin implementing this insert operation?  Recall how an array works when you try to insert an element - all other elements after the insertion point must be shifted.  This is true here as well.  First, you must shift all characters after the insertion point by a certain distance.  Then, you would insert the contents of the new String into the slots you have freed up for insertion. Use the gure below as a reference. Once again, make sure that your new c-string includes the sentinel at the very end, and that the size is properly updated after the insert is complete.

For those who want to explore copy-swap (optional): insert can also be implemented using the copy-swap method.  This would require initiating a String object with the updated contents (after the necessary elements are added) and swapping it with the current String (using the String swap function we deﬁned for you on line 80).  Like erase, you would need to use the substr function, which has been implemented for you.  As an additional hint, the new String has three sections” to it, the portion before the point of insertion, the portion after the point of insertion, and the new String that is added, so you will need to combine all three sections before you initiate the copy-swap.

One note that should be made is that you may come across a few test cases where a string is inserted into itself.  In these cases, it would not be safe to begin modiﬁcation of  cstr immediately, since the insertion may depend on the original value of the String.  There are several ways to bypass this. One way is to check if the address of the String to insert (&str) is equal to the address of the current String  (this), and to insert diﬀerently if they are.  Another method is to simply implement insert in a way that guarantees that str always retains its original value throughout the life of the function (e.g. making a copy of str and using the copy to do the insert).

TODO #3: Replace Function

Next, you will implement the replace() function.  The replace() function is deﬁned as follows:

String &   String :: replace ( size _ t   pos ,   size _ t   len ,   const   String &   str );

When replace() is called using three parameters, pos, len, and str, this function replaces the portion of the String that begins at character pos and spans len characters with the contents of str. For example:

String   str   =   " EECS   281   is   hard " ;

str . replace (12 ,  4 ,   " fun " );

the substring of length 4 starting at position 12 of str (”hard”) would be replaced with the string fun” .  The nal contents of str after the call to replace would be EECS  281 is  fun” .  You may assume that pos is valid.  If the value of len exceeds the end of the String, replace as many characters as possible.

The implementation of replace should not take more than 10 lines of code! This is because you have already implemented erase and insert; a call to replace is simply a combination of these two operations.

If you aren’t sure that your erase or insert are fully functional, an alternative (but longer) approach would be to implement the function from scratch.  Shift all the characters after the segment to replace, and move the new String into the space you opened up.  If str is shorter than len, the replaced section will be shorter than it was before, and if str is longer than len, the replaced section will be longer than it was before.

Like with insert, you will have to deal with self-replacement. To solve this, use an approach similar to the one you used to overcome self-insertion;  either check for the case where &str  ==  this (the String being passed in is the same as the String you are modifying) or implement your function in a way that guarantees that the value of  str stays valid throughout the entire replace call.

TODO #4: Find-First-Of Function

Now, we will discuss functions that can be used to nd speciﬁc characters in a String object. The find first of() function is deﬁned as follows:

size _ t   String :: find _ first _ of ( const   String &   str ,   size _ t   pos   =   0);

This function checks if ANY characters of str can be found in the String. In other words, given two parameters str and pos, this function searches the String for the rst character that matches ANY of the characters in  str, starting from position pos of the String. Characters before pos are ignored.   It is enough for a single character of  str to match for the search to be successful.  If a match is found, the function returns a size t that represents the position of the rst character that matches. Otherwise, the function returns npos. If pos exceeds the length of the string, the function will never nd a match. If pos is not speciﬁed, the value of pos is assumed to be 0.

As long as a single character in str can be found in the String, the search is successful and returns the position of the match, as demonstrated in the examples below:

String   str   =   " EECS   281   is   fun " ;

size _ t   found   =   0;

found   =   str . find _ first _ of ( " 281 " ,   0);

//   found   is   5   since   the   char   ! 2 !   can  be   found   at   index   5

found   =   str . find _ first _ of ( " 280 " ,   0);

//   found   is   5   since   the   char   ! 2 !   can  be   found   at   index   5

found   =   str . find _ first _ of ( " 281 " ,   6);

//   found   is   6   since   the   char   !8 !   can  be   found   at   index   6

The implementation of  find first of() only checks for the existence of one character match rather than an entire String match.

TODO #5: Find-Last-Of Function

The find last of() function is deﬁned as follows:

size _ t   String :: find _ last _ of ( const   String &   str ,   size _ t   pos   =  npos );

The find last of() function is very similar to the find first of() function.  However, this function looks for the last character in a String that matches any of the characters in str, rather than the rst.  The search begins at position pos of the String and moves toward position 0, searching for a match along the way.  Characters after position pos are ignored. If a match is found, the function returns a size t that represents the position of the last character that matches.  Otherwise, the function returns npos. If pos exceeds the length of the String, the entire String is searched. For example:

String   str   =   " EECS   281   is   fun " ;

size _ t   found   =   0;

found   =   str . find _ last _ of ( " Eggs " ,   14);

//   found   is   10   since   an   ! s !   can  be   found   at   index   10

Unlike find first of(), where pos defaults to zero, it is possible for find last of() to take in a value of pos that exceeds the size of the String.  Make sure you take this into consideration.

One thing you have to watch out for when implementing find last of() is the concept of overﬂow.  Overﬂow occurs when the value of a data type exceeds the maximum or goes below the minimum value that a data type can hold. When this happens, the value wraps around” - that is, if you increment a data type past its maximum value, the new value wraps around to the minimum value, and vice versa. Consider the following code:

int  main ()   {

int   counter   =   10 ,   val   =   2147483643;

while   ( - - counter   >=   0)   {

cout   << val << " \ n " ;

++ val ;

}

}

The largest possible value of an int is 2,147,483,647, so incrementing 2,147,483,647 does not give you 2,147,483,648. Instead, val would wrap around to the minimum possible value an int can hold (-2,147,483,648), so incrementing 2,147,483,647 by one instead gives you -2,147,483,648.

The above code prints the following.  Notice that overﬂow occurs when 2,147,483,647 is incremented.

2147483643

2147483644

2147483645

2147483646

2147483647

- 2147483648

- 2147483647

- 2147483646

- 2147483645

- 2147483644

The same thing applies to values of type size t.  A size t is unsigned, so the minimum value a size t can take on is 0. If you attempt to decrement a size t below 0, the value of size t ends up wrapping around to npos, which is the largest value a size t can take on! As a result, this for loop will never exit:

for   ( size _ t   i  =   std :: min ( pos ,   sz   -   1);   i   >=   0;   -- i )  {   /*   do   stuff   */   }

This is because the expression i  >=  0 is always true for a size t. You will need to nd another way to break out of the loop when implementing the function.