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MATH 508-010, Fall 2022

First Assignment

1. Write the function  f(z) =             in the form f(z) = u(x,y) + iv(x,y), and

find its domain.

2.  Show that the inversion mapping  w =   maps the circle |z| = r onto the circle

|w| = 1/r ; and the circle |z − 1| = 1 onto the vertical line x = 1/2.

3. For the function f(z) = ez , describe the image of the vertical line Re z = −1, and the image of the line  Imz = 3π/4.

4.  Show that the Joukowski mapping  w = J(z) =  (z + ) maps the unit

circle |z| = 1 onto the real interval [−1, 1]; and it maps the circle |z| = r (r > 0, r  1) onto the ellipse

u2                           v2            

[  (r +  )] 2         [  (r −  )] 2

with foci at ±1.

5.  Show that if r and θ are polar coordinates, then the functions rn cosnθ and rn sinnθ, where n is an integer, are harmonic as functions of x and y .