Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 235: Linear Algebra 2

Written Assignment 2

Fall 2022

Q1.  Consider V = (y e R : y > 2) and the two operators on V :

y e - := y- _ 2(y + -) + 6,    a o y := (y _ 2)a + 2,

for any y, - e V and any a e Q (the right hand sides of those equations are the standard calculations between real numbers. Verify that (V, e, o) is a vector space over the field Q.

Q2.   (a)  Prove that w1 = (l e d3x3(R) : l = _lT ) is a subspace of d3x3(R).

(b)  Prove that w2  = (l e d3x3(R) : tr(l) = a11 + a22 + a33  = _1) is not a subspace of

d3x3(R).

Q3.   (a) Let s = (y, y2 ) C P2(R) and w = ((y + 1)2 + 3y _ 1, 3y2 _ 2y + 5) . Which element of

w are in Span(s)? Justify your answer.

(b) Let s  =  (w1 , w2 , w3 ) be a subset of a vector space V over some field F.   Prove that

Span(s) = (a1w1 + a2w2 + a3w3  : a1 , a2 , a3  e F) .  (For this question, citing the result in Week02 lecture notes is not sufficient. Indeed, we are asking you to directly prove that example for the case n=3.)

Q4. Let V be a vector space over C and let w1  and w2  be two subspaces of V .   Define the

summation of w1  and w2  as follows:

w1 + w2  := (w_ e V : w_ = z_1 + z_2  for some z_1  e w1 , z_2  e w2 ) . Similarly, we define the intersection of w1  and w2  to be

w1 n w2  := (w_ e V : w_ e w1  and w e w2 ) .

(a)  Prove that w1 + w2  and w1 n w2  are both subspaces of V .

(b) Is w1 n w2  a subspace of V? If yes, prove it. If no, find a counter-example.

(c)  Suppose w1 + w2  = V and w1 n w2  = () .  Prove that for every vector w_ e V , there are unique vectors z_1  e w1  and z_2  e w2  such that w_ = z_1 + z_2 .  (That is, for every vector w_ e V , there exist z_1  e w1  and z_2  e w2  such that w_ = z_1 + z_2  and if there are

vectors u_1  e w1  and u_2  e w2  such that w_ = u_1 + u_2  then z_1 = u_1  and z_2 = u_2 .) Q5. Let V be a vector space over a field F and let s1  and s2  be two subsets of V .

(a)  Prove that if s1  C s2  then Span(s1 ) C Span(s2 ).

(b)  Prove or disprove that Span(s1 n s2 ) = Span(s1 ) + Span(s2 ) (see the definition of the

summation in Question Q3.)