1.    Consider the demand curve P = 10 − Q .

a.    Derive the elasticity of demand as a function of P

b.    What is the elasticity of demand at P = 5 (Q  =  5)?

c.    Now imagine that the demand shifts out to P = 11 − Q .  What is the elasticity of demand at Q = 5?  What is the elasticity at P = 5?

d.    Compare your answers to (b) and (c).

2.    Show that the utility functions U (X, y) = X 2y 2  and V (X, y) = log X + logy are equivalent.  Explain why these two utility functions describe exactly the same preferences.

3.    Derive the own-price demand elasticity, as a function of price, for the following demand curves:

a.    Linear demand: P = a − bQ

b.    Log-linear demand: log(P) = a − b log (Q)

c.    Constant elasticity demand: P = aQ"b

4.   A consumer has linear demand over good X, Qx  = a − bPx , which does not depend on his consumption of other goods Y or his income.  What is this consumer’s utility function?

5.    A consumer has preferences over goods X and Y.

a.    Suppose good X is inferior.  What does that tell you about the income elasticity of good Y. Explain.

b.    Now suppose good X is a Giffen good.  What does that tell you about the demand for the other good?

c.    Suppose his demand for good X is inelastic.  What does that tell you about the demand for good Y?  What about the cross-price elasticity?

d.    Suppose good X has a very small budget share.  What does that tell you about the demand for good Y?  What about the cross-price elasticity?

6.    A consumer has a Cobb-Douglas utility function U (X, y) = X a y &"a  where 0 < a < 1.

a.    Derive the elasticity of substitution between X and Y.

b.    Derive the demand curve for goods X and Y.

c.     Derive the budget shares of goods X and Y.

d.    Does the consumer have homothetic preferences?  How do you know?

e.    Suppose instead that U (X, y) = log(X a y &"a) = a log(X) + ( 1 − a) log(y).  Does this affect any of your answers?  Explain.

7.    A consumer has a CES utility function U (X, y) = a  '  + (1 − a) '  where 0 < a < 1 and 6 ≤ 1 and 6 ≠ 0.

a.    Derive the elasticity of substitution between X and Y.

b.    Derive the demand curve for goods X and Y as a function of px , py , and income M .

c.    Derive the budget shares of goods X and Y.

d.    Does the consumer have homothetic preferences?  How do you know?

8.    A consumer has quasi-linear demand function U (x, y) = log x + y with budget constraint p$ x + y = M (y represents spending on all other goods).

a.    Derive the demand curve for goods X and Y.

b.    Derive the budget shares of goods X and Y.

c.     Does the consumer have homothetic preferences?  How do you know?

d.    Derive the elasticity of substitution between X and Y.

e.    Does the demand for good X depend on income M?  What is the income elasticity for good X?

9.    Many advertising slogans seem to be asserting something about people’s preferences. How would you capture the following slogans with a mathematical utility function? [Nicholson, ninth edition]

a.    Promise margarine is just as good as butter.

b.    Things go better with Coke.

c.    You can’t eat just one Pringle’s potato chip.

d.    Krispy Kreme glazed doughnuts are just better than Dunkin’ .

10.  Each day Paul, who is in third grade, eats  lunch at school.  He likes only Twinkies (t) and soda (s), and these provide him a utility of U (t, s) = √ts . [Adapted from Nicholson, ninth edition]

a.    If Twinkies cost $1 each and soda costs $2 per cup, how should Paul spend the $10 his mother gives him in order to maximize his utility?

b.    The school tries to discourage Twinkie consumption by raising the price to $4.  How will Paul spend his $10 now?  By how much will Paul’s mother have to increase his lunch allowance to provide him with the same level of utility he received in part (a)?

11. A consumer has preferences over consumption c and leisure ℓ .  (Leisure is all of the time she spends not working.)  When she works, she earns wage w .  In addition to her labor income, she has non-      labor income of M .

a.    Write down her optimization problem including her budget constraint.

b.    Suppose her non-labor income rises.  How much does her utility rise (remember Euler’s theorem!)?  What will happen to her consumption and her labor supply?  Explain.

c.    Suppose her wage rises.  How much does her utility rise (remember Euler’s theorem!)? What will happen to her consumption?  What will happen to her labor supply?  Explain.

12. Consumers can eat meals at home or they can eat meals at restaurants.  Suppose the price of             restaurant meals rises.  What would happen to demand for at home meals?  What does your answer depend on?

13.  Economists often say that goods tend to have more elastic demand when they have lots of close  substitutes.  Use the CES utility function U (x, y) = a '  + ( 1 − a) '  to show that the own-price elasticity of demand for good X gets larger (in absolute value) as the elasticity of substitution gets larger.