1.  Consider the dam break problem, but this time assume that the dam wall does not disappear at time t = 0.  Instead, assume that it accelerates in the positive x-direction with constant acceleration a, starting at x = 0 with zero velocity.

(a) By considering Riemann invariants, find the first order PDE for u, including the initial

condition and a condition satisfied on the dam wall.

(b)  Solve your PDE.

(c) At what time and position does the wall separate from the water? What is the physical domain for the problem?

(d) Use Matlab to plot h(x, t) at a few times before and after the separation. Use h0  = 0.1 m, g = 10 ms−2 , a = 1 ms−2 .

2. Modify the method of Lecture 8 to derive the two equations for the shock speed of the shallow water PDEs. You can find the two equations in the online notes.

3. For the linear model of traffic flow, the flux term is q = umax ρ(1 - ρ/ρmax ). Suppose that we modify this to take into account that drivers will slow down if they see that traffic density is increasing along the road. A simple model for this is

∂ρ

q = umax ρ(1 - ρ/ρmax ) - ν

where ν is a positive constant.

(a)  Show that this gives

+ umax (1 - 2ρ/ρmax )      - ν       = 0.

(b)  Suppose that 0 < ρL  < ρR  < ρmax . Use a phase plane approach similar to what we did for Burgers’ equation to show that there exist travelling wave solutions ρ = ρ(x - ct) satisfying ρ(x - ct) → ρL  as x → -o, ρ(x - ct) → ρR  as x → o.  Show that c is the same as the shock speed for the ν = 0 case.

4.  Consider the reaction-diffusion equation

ut - uxx  = f(u)

where

f(u) =

0 < u <  ,

 < u < 1.