Overview

• These questions are a good indicator of the kinds of questions you might get in the exam

• The two questions in this tutorial should take you less than an hour

Contingent Claims

Consumers A and B live for two periods.  At t = 1 they receive endowments and there are two possible states:

ωA  = 12,ωB  = 4

ωA  = 0,ωB  = 6

Utilities are given by

(state 1) (state 2)

UA  =  ln x1(A) +  ln x2(A)

UB  =  ln x1(B)  +  ln x2(B)

(a)   What are the budget constraints? We normalise the prices and let p2  = p and p1  = 1.

We know that with contingent claims that individuals can freely move wealth across states and so we can write the BCs

x1(A) + px2(A)  = 12

x1(B)  + px2(B)  = 4 + 6p

(BCA ) (BCB )

We can normalise the prices because we are effectively dividing both sides of each BC by p1  and then letting p =  .

Recall that we can write out the three budget constraints, one for each state and one for date zero, which when combined give us the same single BCs. While that process is not required here, it is still examinable.

(b)   What relationship between utility and prices holds at optimal demand?

The indifference curve must be tangent to the budget constraint.  As there are only two states we can say it is when |MRS| is equal to the ratio of prices. More generally we know it is when the gradient vector of the utility is co-linear to the price vector

(c)   Draw the market we are considering on an Edgeworth box

(d)   What is each consumer’s optimisation problem ?

You could write out the maximisation problem and/or the Lagrangian. The Lagrangian for each consumer is

L =  ln x1(A) +  ln x2(A) − λ(x1(A) + px2(A) − 12)

L =  ln x1(B)  +  ln x2(B)  − λ(x1(B)  + px2(B)  − 4 − 6p)

(e)   What are the demands for each consumer for each state?

We can just derive the FOC from the Lagrangian and solve them simultaneously

x1(A)  = 3,x2(A)  =

x1(B)  = 2 + 3p,x2(B)  =  + 3

At this point you’ll notice that your demands will look different dependent on which price you chose to normalise.  For this reason, it is important that you normalise the price we tell you to. These differences disappear once we find the equilibrium demands.

(f)   Equilibrium Price.

We can choose the market clearing condition for either good, lets do good 1

x1(A) + x1(B)  = 16  =⇒ 3 + 2 + 3p = 16  =⇒ p =

Again, this value would be reciprocated if you normalised the other price to one.

(g)   Equilibrium Demands.

We then just substitute our equilibrium price into our conditional demands and we get

x1(A)  = 3,x2(A)  =

x1(B)  = 13,x2(B)  = 

At this point regardless of which price you have normalised to one you will get the same result.

(h)   What allocation maximises social welfare ?

We want to maximise the utility of A subject to the utility of B being at least 

L =  ln x1(A) +  lnx2(A) − λ (  ln x1(B)  +  ln x2(B)  − )

What do we need to do before we can take first order conditions?  The constraint is currently in terms of B’s choice variables and we need them to be in terms of A’s choice variables. We can use the resource constraints/ market clearing conditions to express one as a function of the other

x1(A) + x1(B)  = 16

x2(A) + x2(B)  = 6

Solving the F.O.Cs gives us the contTact cuTve

9x1(A)   

x =

this describes the set of allocations that are Pareto efficient. We know that we could find the same contract curve by equating MRS or applying the co-linearity of gradients. It is important to note that the equilibrium may not be Pareto efficient.

Asset Economy

We consider when there are two assets and two states, asset one gives 4 in state 1 and 4 in state 2 while asset 2 gives 1 in state 1 and 2 in state 2. We can summarise this information

r = [3(4)   2(1)]

(a)   Is the market complete?

We just need to check if the determinant is non-zero.

det(r) = ad − bc = 5  0  =⇒ r − 1 exists

We can mimic the arrow securities with portfolios of the assets and thus attain any combination payoffs in the two states we want (provided we can afford it)

(b)   What is arbitrage and what are arrow securities ?

Arbitrage is when you an hold a a free portfolio that guarantees you a positive payoff in at least one period and non-negative payoffs in all others i.e you expect to receive money, yet you did not spend any money.

Arrow securities are assets that give you a single unit of payoff in a single state and nothing in all other.

The two concepts are connected because when the arrow prices are all positive and the law of one price holds, arbitrage is not possible.

(c)   What are the arrow prices in this market?          We are given that q = (5, 3) and so we have that

αr = (5, 3)  =⇒ α = (5, 3)r − 1  = (5, 3) ] = (1/5, 7/5)

recall how we find the inverse of a matrix

r = [3(4)   2(1)]  =⇒ r − 1  =  ] = ]

(d)   Given that ω0  is initial wealth, what levels of wealth are possible ?

Letting y1  and y2  be the levels of wealth in each state, as the markets are complete, she can freely move wealth to any of the states, the BC is then given by

α 1y1 + α2y2  = ω0  ⇐⇒ y1 + 7y2  = 5ω0

Recall that we can write out the three budget constraints, one for each state and one for date zero, which when combined give us the same single BC. While that process is not required here, it is still examinable.

(e)   Suppose we have an infinitely risk averse individual with utility

U = min{y1 ,y2 }

They have no interest in holding more wealth in either state than the other.  They optimally hold equal wealth in both states i.e zero risk. It is then easy to solve for how much this will be in each state

y + 7y = 5ω0   =⇒ y = ω0

What is the portfolio that achieves this allocation of wealth ?  Let z1  and z2  be the desired portfolio, then

( ω(ω)0(0)) = r (   )z(z)2(1)   =⇒ (   )z(z)2(1) = r − 1  ( ω(ω)0(0)) = ( ω(ω)0(0))

(f)   Suppose we have a risk neutral individual who has utility equal to expected value, that

is

U = π 1y1 + π2y2

The indifference curves are linear and are either steeper than the BC or flatter.  The optimal allocation is going to be a corner solution.  When the indifference curves are steeper we have the bottom corner solution.  When the indifference curves are flatter we have the top corner solution.

Considering the space with y2  on the vertical axis.  When the indifference curves are steeper, that is, when  > , we have the bottom corner solution where y2  = 0 and

y1  = 5ω0 . Alternatively, when the indifference curves are flatter, that is, when  <  , we have the top corner solution where y1  = 0 and y2  = ω0 .

In each case you can do the usual matrix algebra to find the portfolio that gives the desired allocation.