Section 3.1.

This assignment adds Content Outcome G5

· G5 – Find the equation of a tangent line to a curve at a given point, from a graph or indirect information about the function.

1. Do the following problems from pages pp. 228-231: # 16, 17, 18, 47.

2. If the tangent line to y = f (x) at (3, 4) passes through the point (0, 2), find f (3) and f\ (3).

3. The following limits represent the derivative of some function f (x) at some point x = a. Find f (x) and a.

(a)x(l)                                                                       (b)h(l) 

4. Each of the graphs below shows the position at time t of a particle moving backwards and forwards along a straight line, where 0 ● t ● 6. The units on the vertical axes of the four graphs are the same. Which particle has

(a) The greatest average velocity over the interval [0 , 6]?

(b) An average velocity of zero over the interval [0, 6]?

(c) The greatest initial instantaneous velocity? (Initial means at time t = 0.)

(d)  Constant velocity over the interval [0, 6]?

5. An infectious disease is spreading in a local community.  The function N(t) gives the number of people, in the hundreds, that are infected after t days.  Write a sentence that expresses the meaning of the following statement:

N\ (5) = _1.5.

Make sure your answer includes units.

Section 3.2

This assignment adds Content Outcomes F5, G6, G7

· F5 – Determine information about a function from the graph of its derivative (or vice

versa).

· G6 – Demonstrate understanding of differentiability of a function at a point. · G7 – Find the derivative of a function from the limit definition of derivative.

1. Use the definition of the derivative (Equation 3.9 on page 232) to find f\ (x) for each of the following functions:

(a)  f(x) = x                       (b)  f(x) = x2                                  (c)  f(x) = x3

2. Let f(x) = ^x + 3. Find f\ (x) using Equation 3.9 on page 232.

3. Let f(x) =  . Find f\ (x) and f\\ (x). For each, use Equation 3.9 on page 232.

4. Do the following problems from pages pp. 243-246: # 63, 65, 69, 78, 96.

5. The graph below shows the size of a population P (t) of yeast cells in a laboratory culture t hours after the culture started growing.

(a) Estimate the rate at which the population is growing at the following times:

(i) t = 0 hrs

(v) t = 5 hrs

(ii) t = 1 hrs

(vi) t = 6 hrs

(iii) t = 2 hrs

(vii) t = 8 hrs

(iv) t = 3 hrs

(b) Use these estimates, along with the shape of P (t), to sketch the graph of the

function P\ (t) over the time interval [0, 9].

III. Section 3.3.

This assignment adds Content Outcome F6

· F6 – Calculate derivatives of functions.

1. Do the following problems on pages pp.263–265: # 109– 111, 117, 122, 123, 126 – 132,

140 – 144

2. For what value(s) of x is the line tangent to the curve y = 1 + 2ex _ 3x parallel to the line 3x _ y = 5?

3. Many ecological studies require that the subject being studied is correlated with the temperature of the environment (this is especially true of studies of insects and plants). Suppose that over a 20 hour period, data are collected on the temperature in a partic- ular environment, and that this data can be modeled with the function

T (t) = 0.01(1600 _ 135t + 27t2 _ t3 ),

where T (t) is the temperature in degrees Celsius after t hours, with 0 ● t ● 20. Find the rate at which the temperature is changing at time t = 3.  Your answer should include units.

4.  Suppose that f(3) = 4, g(3) = 2 f\ (3) = _6 and g\ (3) = 5. Find the following:

a.  ╱fg、\ (3)                                b.  ╱  、 \ (3)                            c.  ╱ 、\ (3)

5. Let f(x)  =   .   For what value(s) of x is the line tangent to the graph of f(x) horizontal?

6. Find the second derivative of the function

y = aev + b _  c

where a, b, c are fixed constants.

7.  Show that the curve y = 6x3 + 5x _ 3 has no point where the tangent line to the curve has slope 4.

8. The number of bacteria N(t) in a culture t minutes after an experimental bactericide is introduced is given by the function N(t) =  + 2000.

(a) How many bacteria are present initially?

(b) What is the instantaneous rate at which the population of bacteria is changing 2

minutes after the bactericide is introduced? Your answer should include units.

IV. Section 3.4.

This section adds Content Outcome G8

· G8 – Solve a word problem on Chapter 3 material.

1. Do the following problems from pp. 273–276: # 152, 157, 159, 160.

V. Section 3.5.

This section continues with Content Outcome F6

· F6 – Calculate derivatives of functions.

1. Do the following problems on pages pp.  285–286 # 179, 182, 192, 194, 198, 205, 208 (you’ll need the limits in the middle of page 208).

2. Find the equation of the line tangent to the graph of f (x) = x sin x + cos x at x =  .

3. For what value(s) of x in the interval [0, 2π] is the  tangent line to the graph of the function f (x) = 2 cosx is parallel to the line y = ^3x + 5?

4.  Suppose that a spring is hung vertically and that a weight is attached to the     spring. When the spring isn’t moving, then the weight is at its resting position, which is called called its àgali女riam position. (See the top picture).

If the weight is pulled down and then released, the spring is set in motion and oscillates up and down in what is called simple harmonic motion. The       bottom picture shows a time-lapse photograph of a spherical weight on           a spring moving in simple harmonic motion.

Problem: Suppose that s(t) = 5 cos t gives the distance (in centimeters) of      the weight from its equilibrium position t seconds after it is set in motion.        When s(t) = 0 the weight is at its equilibrium position. We take the downward direction to be positive (this is the convention with simple harmonic motion.)

(a) At time t = 0, how far is the weight from its equilibrium position? Is it above or

below its equilibrium position?

(b) What is the velocity of the weight at time t =   seconds?  Is it moving up or

down at that instant? Include units.

(c) When does the weight first pass through its equilibrium position?  What is its velocity at this instant? Include units.

VI. Section 3.6.

This section continues with Content Outcome F6

· F6 – Calculate derivatives of functions.

1. Do the following problems from pp. 297–298 # 218, 219, 223-225, 238, 239, 243, 248, 249, 257.

2. Find  ╱ tan3 (4θ)、.

3. During a flu epidemic, the number of students on a university campus who have con- tracted the disease t days after the first cases were reported is given by the function

N (t) =    2000   

(a) How many students had the flu at time t = 0?

(b) How fast was the flu spreading at time t = 0? Include units in your answer.

4. A barrel of wine in a cellar develops a leak, and wine begins seeping out. The amount of wine left in the barrel t minutes after the leak develops is A(t) = 20╱ 1 _ 、2 gallons.

(a) At what time does the barrel become empty?

(b) Find the instantaneous rate at which the wine is seeping out of the barrel at time

t = 10 minutes. Include units in your answer.

VII. Section 3.8.

This section adds Content Outcome G9

· G9 – Correctly find the derivative of an implicit function.

1. Do the following from Section 3.8 of your text: # 300, 303, 307, 312, 317, 325.

2. Use implicit differentiation to find the equation of the line tangent to x4 + 16y4  = 32 at every point on the graph with x-coordinate 2.

3. We say that two curves are ort在o』on彷l if their tangent lines at any point of intersection are perpendicular. Show that the curves

y = 2x2  and x2 + 2y2  = 9

are orthogonal.  You may use a graphing utility (like desmos.com) to find the points of intersection.

4. If f(x) + x2 (f(x))3  = 10 and f(1) = 2, find f\ (1).

5. An àllipti) )aruà is a curve of the form

y2  = x3 + ax + b

for some constants a, b.   These curves are extremely special in that they admit an 彷ééition given by the following picture:

In particular, as shown in the second image, adding a point P to itself requires finding the tangent line to the curve at P .

(a) Verify that the point (_4, _3) lies on the curve y2  = x3 + 73.

(b)  Compute the sum (_4, _3) 9 (_4, _3) using the description and picture above.

Verify that this point is also on the curve.

Elliptic curves show up in a variety of contexts, but their most well-known use out- side of mathematics is  in  Cryptography.   See  (https://en.wikipedia.org/wiki/ Elliptic-curve_cryptography if you’re interested).

VIII. Section 3.9.

This section adds Content Outcomes F7, G5, G10, G11

· F7 – Find the equation of a tangent line to a curve at a given point.

· G5 – Find the equation of a tangent line to a curve at a given point, from a graph or

indirect information about the function.

· G10 – Solve a challenging problem that combines different skills and/or presents ma-

terial from Chapters 2-3 + Pre-Reqs in a different way.

· G11 – Analyze a function from an abstract presentation of information about the

function.

1. Do the following from Section 3.9 of your text:  # 332, 333, 339, 343, 345, 354, 355, 356.

2. At what point(s) is the tangent line to the graph of y = ╱ ln(x + 4)、2  horizontal?

3. Let f (x) =  .

(a) At what point(s) is the tangent line to the graph of f (x) horizontal? (b)  On what interval(s) is f (x) increasing?

4. It is estimated that the circulation of a city newspaper t years from now can be modeled by the function

C(t) = 100t2 + 400t + 50t ln t,

where C(t) is measured in hundreds of subscribers.

(a) At what rate will the circulation of the paper be changing t years from now?

Include units in your answer.

(b) Use the fact that ln 7 < 2 to estimate the rate at which the circulation of the

paper will be changing 7 years from now. Include units in your answer.

5. An economist predicts that the buying power B(t) of a dollar t years from now will be B(t) = (0.95)t .

(a) Find the rate at which the buying power of a dollar will be changing t years from

now. Is the buying power increasing or decreasing? Why?

(b) At what rate will the buying power be changing two years from now?   Use a

scientific calculator to get a decimal approximation for your answer.

Answers

Section 3.1

1.   16.

mtan  =                                              . y = x +

17.    a. mtan  = 12                                          b. y = 12x + 14

18.    a. mtan  =                                             b. y = x _ 

2.  f (3) = 4                                                        f\ (3) =

3.   (a)  f (x) = 3x , a = 4                                     (b)  f (x) = ^x, a = 4

Section 3.2

1.     a.  f\ (x) = 1                        b.  f\ (x) = 2x                      c.  f\ (x) = 3x2

2.  f\ (x) = 2^ 

3.  f\ (x) =                                                      f\\ (x) = 

4.   63.  f\ (x) = 2_^

69.  f (x) = 3x2 + 2, a = 2

78.  (a) x = 4                                                  (b) none

Section 3.3

1. 109.  f\ (x) = 32x3 + 18x

110.  f\ (x) = 4x3 _

111.  f\ (x) = 270x4 +

117.  f\ (x) =

122.  h\ (x) = 4f\ (x) + 

123.  h\ (x) = 3x2 f (x) + x3 f\ (x)

126.  h\ (1) = 18

127.  h\ (2) =

128.  h\ (3) = _34

129. undefined

130.    a.  h\ (1) = 0

b. does not exist

c.  h\ (4) = 1

131.    a.  h\ (1) = 2

b. does not exist

c.  h\ (4) = 2

132.    a.  h\ (1) = _4

b. does not exist

c.  h\ (4) = 

140.  (9, 729)

141. y = x +

142.    a. x = _1, 

b. x =  , 0

143.  f (x) = _3x2 + 9x _ 1

144.    a. t = 1 second, t = 3 seconds

b. At t = 1 second, acceleration is _6 m/s2 .  At t = 3 seconds, ac- celeration is 6 m/s2 .

2. x = ln 3

3. After 3 hours, the temperature is changing by 0 degrees Celsius per hour (i.e. it is not changing at that instant).

b. -8

c. 8

5. x = 1

6. y\\  = aex +  _

8.     a.  12, 000 bacteria

b.  _1600 bacteria/minute

Section 3.4

1. 152. v(t) =  , a(t) =

157.    a. v(0.5) = 84 ft/s, v(5.75) = _84 ft/s

b. 84 ft/s

c. 3.125 seconds after launch

d. a(0.5) = _32 ft/s, a(1.5) = _32 ft/s

e.   seconds

f.  _4^965 ft/s

159.    a. positive: (0, 1.5) ≈ (6, 7), negative: (1.5, 2) ≈ (5, 6), zero: (2, 5)

c. positive: (5, 7), negative: (0, 2), zero: (2, 5)

160.   b.  $3.38

c.  $3.53

Section 3.5

dy       x sec x tan x _ sec x

dx                   x2

dy       sec2 x _ sec3 x + sec x tan2 x

dx                   (1 _ sec x)2

192.         = _4 cos x sin x

194.   =  + 2 sec2 x tan x

198. x =  ,

2. y =

3. x =  , 

4.     a. The weight is 5 cm below its equilibrium position.

b.   cm/s; upward

c. t =  s; v() = _5 cm/s

Section 3.6

1.

218.   = 9 sec2 (9x + 2)                              239.  f\ (1) =  dy               2x _ 6

223. b.   = 7 ╱  + 、6  . ╱  _ 、         248.  

224.  b.  dy  = sec(x) tan(x) sec2 (sec(x))        249.  _4

225.  b.   = _π cot(πx + 1) csc(πx + 1)     257.    a.  3= _8π ╱  _ 、2 (t +

238.  f (1) = ′ 6(5)                                                      b.   ft/min

2.  12 tan2 (4θ) sec2 (4θ)

3.     a.  20 students

b. increasing by 19.8 students per day

4.     a. The barrel becomes empty 80 minutes after the leak developed.

b. The wine is leaking out of the barrel at a rate of  gallons/min.

Section 3.8

1. 300.       =

303.       =      +

dx     sin(xy) + xy cos(xy) _ 2y

312. y _ 1 =  ╱x _ 、

317.    a. y _ 1 = _(x _ 1)

b.  (3, _1)

dy

2. y _ 1 = (x _ 2) and y + 1 = (x _ 2)

4.  f\ (1) = 

Section 3.9

1. 332.  f\ (x) = 

333.  f\ (x) = x2 ex3 ln(x)(3 ln(x) + 1)

339.  f (x) = π\x+1xπ _1 + ln(π)πx xπ

343.  f\ (x) = tan(x)

345.  f\ (x) = ln(2)2x log3 (7x2 _4 ) +

354. y = 12x + 8

355. y _ 5 =  (x _ 1)

356. y _ 1 = _10(x _ 2)