Due Date: 11 November 2022

1.  Consider a discrete-time linear time-invariant  (LTI) system with  input          and

output  . When  , the output is:

(a) Determine the transfer function           and its region of convergence (ROC).

(b) Determine the difference equation that relates          and        .

(c) Determine the system impulse response        .

(d) Determine the discrete-time Fourier transform (DTFT) of  .

2.  A discrete-time system with  input          and output        , satisfies the following difference equation:

(a) Determine the system transfer function.

(b) Find all pole and zero locations.

(c) Determine all possible forms of the system impulse response  .

3.  The following difference equation describes a discrete-time causal system with input  and output :

(a) Show that the system is an all-pass system. Note that for an all-pass system

with frequency response              ,                  is identical for all frequencies.

(b) Consider that the input   has finite energy such that

Determine the energy of the output  , i.e.,  .

4.  Consider a causal and linear-phase finite impulse response (FIR) filter of length 4 such that                             and                           . It is known that the magnitude of the filter frequency response              is                       at           , while

at  . Determine all possible values of   and  .

5.  Consider a causal LTI system whose system function is

can be realized as cascade of first-order systems with or without canonic

6.  Figure 1 shows the block diagram representation of a causal LTI discrete-time system with input         and output  .

Figure 1

(a) Determine the system transfer function

  are the  transforms of  and

(b) Draw the block diagram representation of the system using canonic form .

(c) Is the system stable? Explain your answer.

7.  Consider an ideal bandpass filter whose frequency response in

is: