Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Data Measurement and Analysis, EGM 5121C, F22

3. A second-order system with impulse response function h (t ) =  e−ζωnt sin (ωd t ) is excited by a truncated ramp function x (t ) = ⎨ where ωn  = 1 rad/s, T = , ωd  = ωn    and  ζ = damping ratio = 0.05.  Determine the following:

a.   the system output y (t ) by applying the convolution integral analytically.  (HINT:  Use superposition to express the truncated ramp as the sum of a ramp with positive slope for t ≥ 0 , a negative step for t ≥ 2T , and a ramp with negative slope for t ≥ 2T .)

b.   the system output y (t ) by numerically convoluting the two functions (e.g. in MATLAB).

c.   produce a graph (e.g., in MATLAB) that compares the two solutions.

d.   interpret your response.  Does it make physical sense?  Why?

4. Given the convolution integral y (t ) = j u (τ)h (t −τ)dτ and the definition of the Fourier −∞

Transform Y(ω) =j(∞) y (t )e− jωtdt , prove that Y (ω) = U (ω)H (ω) .  Hints:  (1) Substitute the

−∞

convolution integral into the Fourier transform.  (2) Change the order of integration by      integrating over t first, then τ .  (3) For the inner integral, make the substitution α= t −τ .

5.  From Table 2.1 in B&P, derive H (f ) for the case of relative acceleration output and          foundation motion acceleration input to show H(f )  =  .  Also find the phase angle  θ(f ) .  Plot H (f ) and  θ(f ) for  ζ= 0.01, 0. 1, 0.5, and 1.0 .