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ECOS3022 Tutorials

Tutorial 3 - Asset Economy

Overview

• Complete Markets

• Under complete markets, finding the portfolio that delivers the desired payoff

• Using Arrow Prices to find asset prices

• Constructing BCs in an asset economy

• Using asset prices to find arrow prices

Q1 - Finding the portfolio that delivers a given payoff

We have three assets and two states.  The risk free asset that delivers (100 , 100), a risky bond that delivers (0, 100) and a risky share (20, 35). Let (z1 ,z2 ) be a portfolio of bonds and shares, how much should she buy of each to get a payoff of (4000, 4000)?

] = ][   ]z(z)2(1)

We are trying to solve for the portfolio (z1 ,z2 ), which requires us to find the inverse of the payoff matrix, T 1 . We can multiply both sides of the equation from the left by T 1  (Recall that T × T 1  = I). The portfolio is then given by

[   ]z(z)2(1) = T 1  ]

As T is a 2 × 2 matrix, we can find the inverse by finding the determinant.

1  =  ] =  ] = [ 0     ]

Aside:   Remember that the columns of T 1 are portfolios that correspond to the arrow securities for each state. e.g you can check for yourself that the following is indeed true

T [ 0 ] = [ ]0(1)

Now, we can use our expression for r 1  to find our desired portfolio.

[   ]z(z)2(1) = [ 0     ] = ]

Alternatively:  you could notice that only asset 2 can give you state 1 payoff and so you already know that z2  = 200, which then implies z1  = −30. This method while easier for this specific question does not always work and hence it is important we understand the method that involves inverting the payoff matrix.

Remark: you should notice that whenever we can invert the payoff matrix, we can solve for the desired portfolio for any given set of payoffs. Hence, the payoff matrix being invertible is equivalent to markets being complete.

Q2 - Arrow Prices

We are given a vector of arrow prices

q = (α1 ,α2 ,α3 ,α4 ,α5 )

(a)   what is the price of the risk free asset β . By the law of one price the price of the risk

free asset must be the same as buying one of every arrow security.

β =αi

i

Aside:  By the same logic, saving β should provide the same payoff as buying the risk

βρ = 1

where ρ is the gross interest rate.

(b)   What are the risk neutral probabilities. Functionally, they are what proportion of the

risk free asset price is the arrow price of a given state.  For a given state s, the risk

neutral probability is

s  = ραs  = αs

Notice that the sum of the risk neutral probabilities must be one.

(c)   Given the cash flow of an asset z what is the price. We can again apply the law of one price and know that it must be the same price as a portfolio of arrow securities that provide the same cash flow.

We are told that z has the following payoff (5, 5, 2, 7, 4), and so the price must be pz  = 5α1 + 5α2 + 2α3 + 7α4 + 4α5

Q3 - Please do in your own time

Q4 - Constructing BCs in an asset economy

We consider a complete market with two financial assets and two states on date 1. Having complete markets here is important, as it means we know we can choose our payoff for a certain state independent of other states. So we know we have three BCs, one for date 0 and one for each state.

p0 x0 + q1 z1 + q2 z2  = p0 ω0

p1 x1  = p1 ω 1 + r 1(1)z1 + r 1(2)z2

p2 x2  = p2 ω2 + r2(1)z1 + r2(2)z2

(a)   Our final’ BC we use for optimisation should only have our consumption variables and

so we combine our three BCs and get rid of z1  and z2 . One way we can do this is using matrices, we can rearrange our last two Bcs and get

rz = ] := d

z = r 1 d

We would then have z1 ,z2   in terms of demands and endowments.   We could then substitute these expressions into our date 0 BC for our desired single BC. Let’s do it with some numbers:

r = [2(1)   1(3)]  =1  = ]  =z = ][]

Assuming that all the asset prices are 1, we can then substitute our expressions for z1 ,z2  into our date 0 BC for

p0 x0 + p1 x1 + p2 x2  = p0 ω0 + p1 ω 1 + p2 ω2

this BC will make a lot more intuitive sense when we derive the arrow prices.

(b)   As we have complete markets, we should be able to find arrow prices from our asset

prices and the payoff matrix

αr = q  =α = qr 1  = (1, 1) ] = (1/5, 2/5)

Let’s look again at the BC we found earlier

p0 x0 + p1 x1 + p2 x2  = p0 ω0 + p1 ω 1 + p2 ω2

Hence, when markets are complete, we can quite quickly find the BC we use for opti- misation.

(c)   In this part, there is only one asset and two states so markets cannot be complete. We can form the same three BCs just like in part (a) but because markets aren’t complete, there is no single BC that we can combine those into. See Canvas worked solutions for details.

Q5 - More practise

We have two financial assets, complete markets and two possible states.  We lets ωi  be the payoff or endowment in state i

(a)   Constructing the BC:

We are given that r =  [3(1)

ω 1  = r1(1)z1 + r1(2)z2                                                                              (2)

ω2  = r2(1)z1 + r2(2)z2                                                                              (3)

1(2)] ,q = (2, 1),ω0  = 20.  We can solve the three as before

using matrices

ω = rz  =⇒ z = r 1  ω

then substitute these expression for z1 ,z2  into the date 0 BC. We can always do it the

old fashioned way with standard simultaneous equations as well. Our final BC is then ω 1 + 3ω2  = 100

We can rewrite our BC to have ω0  on the right hand side

1/5ω1 + 3/5ω2  = 20

We then also have our arrow prices if we want α = (1/5, 3/5).

Alternatively, we know by the law of one price

αr = q  =⇒ α = qr 1  = ··· = (1/5, 3/5)

(b)   Notice that the slope of the BC here is just the ratio of arrow prices. More importantly

the slope of the BC is negative, insuring no arbitrage as there is a trade-off between wealth in each state